Wurzeln - Aufgabe

A / 59 / 170 / g

\[ \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{a}}} {a\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}}} \] Wir machen im Zähler gleichnennrig und nehmen im Nenner das a unter die Wurzel. \[ \dfrac{\sqrt{\dfrac{a+1}{a}}} {\sqrt[3]{a^2+a}} \] Jetzt muss man wissen, dass gilt \[ \begin{align} \sqrt{x}&=x^\dfrac{1}{2}=x^\dfrac{3}{6}\\ \sqrt[3]{x}&=x^\dfrac{1}{3}=x^\dfrac{2}{6} \end{align} \] Darum können wir die Wurzelausdrücke mit Exponenten schreiben. \[ \dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^\dfrac{3}{6}} {\left(a^2+a\right)^\dfrac{2}{6}} \] Und das ist das gleiche wie \[ \dfrac{\left(\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^3\right)^\dfrac{1}{6}} {\left(\left(a^2+a\right)^2\right)^\dfrac{1}{6}} \] Und dann mit einem der Potenzgesetze \[ \left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^3} {\left(a\left(a+1\right)\right)^2}\right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2\left(\dfrac{a+1}{a}\right)} {\left(a\left(a+1\right)\right)^2}\right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left( \left(\dfrac {\dfrac{a+1}{a}} {a\left(a+1\right) }\right)^2 \dfrac{a+1}{a} \right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left( \dfrac {1} {a^4} \dfrac{a+1}{a} \right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left( \dfrac{a+1}{a^5} \right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \sqrt[6]{ \dfrac{a+1}{a^5}} \]

Bruchrechnen - gelöste Aufgaben

Hier eine Aufgabe, die mir auch dazu dient, meine \(\TeX\) Fähigkeiten zu testen.

A / 27 / 64 / b

\[ \dfrac { \dfrac {1} {a-\dfrac {1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {1-\dfrac {1} {a} } } } \] Wir machen zweimal gleichnennrig. \[ \dfrac { \dfrac {1} {\dfrac {a^2-1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {\dfrac {a-1} {a} } } } \] Wir teilen zweimal durch einen Bruch (umstürzen und vermehren). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {a} {a-1} } } \] Wir machen wieder gleichnennrig. Im Zähler machen wir nichts. Und glücklicherweise wird meine \(\TeX\)-Formel etwas einfacher. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {a-1-a} {a-1} } } \] Wir vereinfachen. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {-1} {a-1} } } \] Wir schaffen ein lästiges Minuszeichen aus der Welt. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {1} {1-a} } } \] Wir dividieren durch einen Bruch im Nenner. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1+a-1} \] Wir vereinfachen den Nenner. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { a} \] Und schon sind wir durch. \[ \dfrac {1} {a^2-1} \] Die Aufgabe könnte auch mit der sogenannten Erweiterungsmethode gelöst werden \[ \dfrac { \dfrac {1} {a-\dfrac {1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {1-\dfrac {1} {a} } } } \] Wir erweitern den Bruch im Zähler und den Teilbruch im Nenner mit \(a\). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {a} {a-1 } } } \] Jetzt erweitern wir den Bruch im Nenner mit \((a-1)\). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {a-1} {a-1-a} } \] Wir vereinfachen. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {a-1} {-1} } \] Und vereinfachen nochmals. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } {1-(1-a)} \] Und vereinfachen nochmals. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } {a} \] Und schon sind wir wieder durch. \[ \dfrac {1} {a^2-1} \]

Gleichungssystem - lösen

DER INTERNET EXPLORER ZEIGT DIE FORMELN VIELLEICHT NICHT KORREKT AN.

Ich bin daran, mich in \(\TeX{}\) einzuarbeiten. Damit sollten meine Blog Einträge besser lesbar werden. Ich löse hier ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten. Es handelt sich um folgende Aufgabe: A/131/411/a \[ \begin{align} x+y &=5-2z\tag{A}\\ x+z&=8-2y\tag{B}\\ 11-z&=2x+y\tag{C} \end{align} \] Zuerst ordnen wir neu. \[ \begin{align} x+y+2z &=5\tag{D} \\x+2y+z &=8\tag{E} \\2x+y+z &=11\tag{F} \end{align} \] Wir eliminieren \(x\), indem wir "D-E" und "2D-F" rechnen. \[ \begin{align} -y+z &=-3\tag{G}\\ y+3z &=-1\tag{H} \end{align} \] Wir eliminieren \(y\), indem wir "G+H" rechnen. \[ \begin{align} 4z &=-4\tag{I} \end{align} \]Damit ist \(z=-1\). \(y=2\) erhalten wir aus Gleichung H. Aus Gleichung D folgt dann \(x=5\). Die Lösung ist also \(\left(5/2/-1\right)\). Die Kontrolle sollte die Richtigkeit der Rechnung bestätigen. Die gefundenen Werte müssen die Gleichungen A, B und C erfüllen. Man kann die drei Gleichungen geometrisch als Ebenen auffassen. Sie schneiden sich in einem Punkt. Dies zeigt das folgende Bild.

Die Lösung des Gleichungssystems entspricht dem Schnittpunkt \(S=\left(5/2/-1\right)\). Hier noch die folgende Aufgabe: A/131/411/d \[\begin{align}3v+1&=4u+5w\\u-7w&=14-2v\\9w+1&=5v-6u\end{align}\]Zuerst ordnen wir neu.\[\begin{align}4u-3v+5w&=1\tag{A}\\u+2v-7w&=14\tag{B}\\6u-5v+9w&=-1\tag{C}\end{align}\]Wir eliminieren u, indem wir "A-4B" und "C-6B" rechnen.\[\begin{align}-11v+33w&=-55\tag{D}\\-17v+51w&=-85\tag{E}\end{align}\]Wir dividieren Gleichung D durch \(-11\) und Gleichung E durch \(17\).\[\begin{align}v-3w&=5\tag{D}\\-v+3w&=-5\tag{E}\end{align}\]Diese beiden Gleichungen sind äquivalent. Wir erhalten also als dritte Stufe:\[v-3w=5\tag{F}\]Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Wir schreiben \(w=\lambda\), wobei \(\lambda\in\mathbf{R}\). Aus Gleichung F folgt dann \(v=5+3\lambda\). u folgt aus Gleichung B.\[\begin{align}u&=14-2v+7w\\&=14-10-6\lambda+7\lambda\\&=4+\lambda\end{align}\]Und damit ist die Lösung:\[\left(\lambda+4/3\lambda+5/\lambda\right)\text{ mit }\lambda\in\mathbf{R}\]Wir interpretieren die drei Gleichungen wieder als Ebenengleichung und stellen diese graphisch dar. Man sieht dann, dass sich die Ebenen in einer Geraden schneiden.

Vektorgeometrie - Winkelberechnung

Wir nehmen wieder eine Aufgabe aus der Stereometrie, wo es darum geht, Winkel zwischen Ebenen und zwischen Geraden und Ebenen zu bestimmen, und schauen, ob sich die Vektorgeometrie dabei bewährt.


G/148/89


Alle Kanten einer vierseitigen Pyramide sind gleich lang. Berechnen Sie den Winkel zwischen
a) einer Seitenkante und der Grundfläche
b) einer Seitenfläche und der Grundfläche
c) zwei angrenzenden Seitenflächen


Wir erstellen eine Skizze und definieren ein Koordinatensysem.

Wir wählen eine Kantenlänge von 2 Einheiten.
Die Höhe lässt sich leicht über den Pythagoras berechnen.


Winkel zwischen einer Seitenkante und der Grundfläche


Dazu benötigen wir die folgenden Elemente.

Mit dem Skalarprodukt lässt sich der Winkel leicht berechnen.

Winkel zwischen einer Seitenfläche und der Grundfläche


Die Gleichung der Grundfläche und ihren Normalenvektor haben wir oben schon formuliert.
Für die Seitenfläche nehmen wir die Ebene durch die Punkte O, A und E.
Diese Ebene ist parallel zur x-Achse. z ist also nur von y abhängig. Ihre Koordinatengleichung und der entsprechende Normalenvektor lauten also:

Weiter geht es wieder mit dem Skalarprodukt. Man nimmt die Normalenvektoren der beiden Ebenen.

Winkel zwischen zwei angrenzenden Seitenflächen


Wir nehmen die Flächen links, die wir schon berechnet haben, und vorne.
Die Fläche vorne liegt auf einer Ebenen, die parallel zur y-Achse ist. In diesem Falle ist z eine Funktion von y. Wieder kommt man schnell zur Ebenengleichung und zum Normalenvektor.
Der Rest entspricht wieder dem Vorgehen von oben (Skalarprodukt der Normalenvektoren). Auch hier muss man sich wieder überlegen, welchen Winkel es zu nehmen gilt.

Quadratische Gleichungen - Aufgaben

 A/99/279/d

Lösen Sie die Gleichung ohne Fallunterscheidung.

 

Lösung

Wurzelgleichungen - Aufgaben

A/113/344/e

Lösung

Logarithmen - Aufgaben

A/67/204/j

Fassen Sie zu einem einzigen Logarithmusmuster zusammen.

Lösung

Wurzeln / Potenzen - Aufgaben

A/58/167/c

Vereinfachen Sie so weit als möglich. Schreiben Sie die Lösung mit Hilfe von Wurzelzeichen.

Lösung

Vektorgeometrie - Winkel zwischen Ebenen

In der Stereometrie, beim Thema "Winkel im Raum", lösen wir die folgende Aufgabe.

G/140/29/a

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Flächen BCE und CDE eines Würfels ABCDEFGH.

Wir wollen die Aufgabe hier vektorgeometrisch angehen und schauen, ob sich gelernte Methode zur Winkelberechnung zwischen Ebenen bewährt.

Lösung

Wir nehmen eine Kantenlänge von 1 Einheit an.

A sei der Ursprung unseres Koordinatensystems.

Die x-Achse verlaufe in Richtung von A nach B.

Die y-Achse verlaufe in Richtung von A nach D.

Die z-Achse verlaufe in Richtung von A nach E.

Die Koordinagengleichung der Ebene BCE können wir ohne Probleme direkt aufschreiben.

E(BCE): z = 1 - x.

Das gleiche gilt für die Koordinatengleichung der Ebene CDE.

E(CDE): z = 1 - y

Jetzt folgt die Methode mit den Normalvektoren.

Die Methode bewährt sich also sehr gut.

G/140/29/b

Gleiche Aufgabenstellung, nur dass in diesem Fall ein Quader mit folgenden Seitenlängen gegeben ist.

 

Die Ebenengleichungen lauten nun wie folgt.

Und jetzt folgt wieder die Methode mit den Normalenvektoren.

Wir wollen gleich unseren Taschenrechner TI 89 einsetzen.

Und die Methode bewährt sich auch hier.

Extremwertaufgabe

A/245/934

Zwei Lichtquellen L₁ und L₂ mit den Lichtstärken i₁ = 12 cd (Candela) und i₂ = 21 cd liegen in einer Entfernung von 4.50 m auseinander.

Wie weit ist der am schwächsten beleuchtete Punkt zwischen den Lichtquellen von der schwächeren Lichtquelle entfernt?

Anmerkung: Die Beleuchtungsstärke ist proportional der Lichtstärke und indirekt proportional dem Quadrat der Entfernung.

Lösung

Sei B die Beleuchtungsstärke.

Sei x der Abstand des gesuchten Punktes von L₁.

Die Beleuchtungsstärken der beiden Lichtquellen addieren sich logischereweise.

Der Proportionalitätsfaktor k kann weggelassen werden, denn er bewirkt eine vertikale Streckung der Kurve. Damit wird der x-Wert des Minimums nicht beeinflusst.

Hier der Graph

Der gesuchte Abstand ist somit 2.04 cm.


Bemerkung


Ich bin hier nicht streng nach dem folgenden Verfahren vorgegangen

1. Hauptbedingung aufstellen
2. Nebenbedingung aufstellen
3. Nebenbedingung in Hauptbedingung

sondern habe direkt die Formel mit nur einer unabhängigen Variablen hingeschrieben.

Sonst würde es heissen

Das Minimum ermitteln wir übrigens graphisch mit unserem Taschenrechner.

Geraden - gegenseitige Lage

Zwei Geraden können im Raum wie folgt zueinander liegen:

1. parallel
2. zusammenfallend
3. sich schneidend
4. windschief

In der Ebene sind folgende gegenseitige Lagen möglich:

1. parallel
2. zusammenfallend
3. sich schneidend

Wir wollen hier das Vorgehen beim Bestimmen der gegenseitigen Lage besprechen. Dabei beschränken wir uns auf dreidimensionale Probleme.

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick.

parallel	zusammenfallend	schneidend	windschief
gleiche Richtung	gleiche Richtung	unterschiedliche Richtung	unterschiedliche Richtung
kein Schnittpunkt	unendlich viele Schnittpunkte	ein Schnittpunkt	kein Schnittpunkt
gleiche Richtung		unterschiedliche Richtung
	Schnittpunkt(e) vorhanden

Aufgabe

Fertigen Sie eine Skizze der folgenden vier Geraden an. Aus der Skizze soll die gegenseitige Lage der Geraden gut ersichtlich sein.

Da gilt es im Prinzip 6 gegenseitige Lagen zu untersuchen, nämlich:

1. Gegenseitige Lage der Geraden f und g
2. Gegenseitige Lage der Geraden f und h
3. Gegenseitige Lage der Geraden f und i
4. Gegenseitige Lage der Geraden g und h
5. Gegenseitige Lage der Geraden g und i
6. Gegenseitige Lage der Geraden h und i

Fangen wir an

Gegenseitige Lage der Geraden f und g

Man sieht direkt, dass ein Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen ist.

Die beiden Geraden sind also PARALLEL oder ZUSAMMENFALLEND.

Bestimmen wir nun deren Schnittmenge.

Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte. Sie sind also ZUSAMMENFALLEND.

Gegenseitige Lage der Geraden f und h

Die beiden Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Also sind die beiden Geraden entweder SCHNEIDEND oder WINDSCHIEF.

Bestimmen wir nun deren Schnittmenge.

Die beiden Geraden haben einen SCHNITTPUNKT. S = (1/2/1)

Gegenseitige Lage der Geraden g und h

Weil f und g zusammenfallen, und f und h sich schneiden, SCHNEIDEN sich auch g und h in S = (1/2/1).

Gegenseitige Lage der Geraden f und i

Aufgrund der Richtungsvektoren sind sie entweder WINDSCHIEF oder SCHNEIDEND.

Bestimmen wir nun deren Schnittmenge.

Die beiden Geraden sind WINDSCHIEF.

Gegenseitige Lage der Geraden g und i

Weil f und i windschief sind, sind auch g und i WINDSCHIEF.

Gegenseitige Lage der Geraden h und i

Die beiden Geraden haben einen SCHNITTPUNKT. P = (4/8/-2)

Schaubild

Binome - Theorie

Drei binomische Formeln sollte man unbedingt auswendig kennen. Man kommt leicht durch Ausmultiplizieren dazu.

Formeln

Und damit wäre es eigentlich getan, und Sie könnten zur Tagesordnung übergehen. Aber die Formeln müssen natürlich auch angewandt werden können. Und es ist so, dass gerade das dritte Binom oft verkannt wird, weil es nicht erkannt wird - anderen geht es halt im Leben auch oft so.

Anwendungsbeispiele

Aufgabe / Algebra / 16/22/a

Aufgabe / Algebra / 19/33/f

 

Die Beispiele zeigen, dass die Formeln sowohl von links nach rechts (ausmultiplizieren) als auch von rechts nach links (faktorisieren) angewandt werden können.

Merkregel für das 1. Binom z.B.

Das erste im Quadrat plus

Zweimal das erste mal das zweite plus

Das zweite im Quadrat

Vielleicht hilft eine geometrische Vorstellung beim Erinnern. Hier das erste Binom als Beispiel.

Man kann noch viele andere Formeln entwickeln.

Beispiel 1

 

Beispiel 2

Und dann gibt es da noch das Pascalsche Dreieck:

Ich glaube, Sie erkennen die Regel und können das Dreieck beliebig fortsetzen. Hier seine Anwendung Schritt für Schritt:

Das kann der Taschenrechner natürlich viel schneller.

Wählen Sie: F2 ... EXPAND

Bruchrechnen - gelöste Aufgaben

Aufgabe / Algebra / 21/47/e

Kürzen Sie vollständig, falls möglich.

Kommentar: Vor dem Kürzen muss faktorisiert werden. Am Schluss wird durch (a - 1) gekürzt.

Aufgabe / Algebra / 23/52/a

Schreiben Sie als einen gekürzten Bruch.

Kommentar: Vor allem im zweiten Schritt beim Abzählen negativer Zahlen ist Vorsicht geboten. Der letzte Schritt ist Kosmetik.

Aufgabe / Algebra / 25/57/a
Vereinfachen Sie so weit als möglich. Geben Sie die Lösung als gekürzten Bruch an.

Kommentar: im letzten Schritt wurde noch das 3. Binom umgeschrieben.

Aufgabe / Algebra / 26/61/a

Vereinfachen Sie den Doppelbruch.