A / 31 / 77 / a
In \(TeX\) gibt es den "\color{}"-Befehl. Damit sollte auch die
folgende Aufgabe besser zu knacken sein.
\[
(c+d)
\dfrac
{\dfrac{c+d}{c-d}+\dfrac{4cd}{\color{red}{d^2-c^2}}}
{\color{blue}{\dfrac{d}{c}-1}}
\]
Zuerst faktorisiere ich den roten Teil und fasse den blauen Term
zusammen.
\[
(c+d)
\dfrac
{\dfrac{c+d}{c-d}+\dfrac{4cd}{\color{red}{(d+c)(d-c)}}}
{\color{blue}{\dfrac{d-c}{c}}}
\]
Jetzt teilen wird durch "blau" (umstürzen und vermehren).
\[
\dfrac
{\color{blue}{c}(c+d)}
{\color{blue}{d-c}}
\left(
{\dfrac{c+d}{c-d}+\dfrac{4cd}{(c+d)(d-c)}}
\right)
\]
Jetzt nehmen wir uns des grünen Teiles an.
\[
\dfrac
{c(c+d)}
{d-c}
\left(\color{green}{
{\dfrac{c+d}{c-d}+\dfrac{4cd}{(c+d)(d-c)}}}
\right)
\]
Zur Bestimmung des gemeinsamen Nenners erweitern wir den ersten Bruch
mit \(-1\).
\[
\dfrac
{c(c+d)}
{d-c}
\left(
{\color{green}{-\dfrac{c+d}{d-c}}+\dfrac{4cd}{(c+d)(d-c)}}
\right)
\]
Jetzt schreiben wir die beiden Brüche mit dem gemeinsamen Nenner.
\[
\dfrac
{c(c+d)}
{d-c}
\left(
{-\dfrac{(c+d)^2}{\color{green}{(c+d)(d-c)}}+\dfrac{4cd}{\color{green}{(c+d)(d-c)}}}
\right)
\]
Und über einem Bruchstrich geschrieben.
\[
\dfrac
{c(c+d)}
{d-c}
\left(\color{green}{
{\dfrac{4cd-(c+d)^2}{(c+d)(d-c)}}}
\right)
\]
Wir multiplizieren im Zähler aus.
\[
\dfrac
{c(c+d)}
{d-c}
\left(
{\dfrac{\color{green}{-c^2+2cd-d^2}}{(c+d)(d-c)}}
\right)
\]
Wir klammern \(-1\) aus und erhalten das 2. Binom, das wir anschliessend faktorisieren.
\[
\dfrac
{c(c+d)}
{d-c}
\left(
\color{red}{-}{\dfrac{\color{green}{c^2-2cd+d^2}}{(c+d)(d-c)}}
\right)
\]
\[
\color{red}{-}\dfrac
{c(c+d)}
{d-c}
\left(
{\dfrac{\color{green}{(c-d)^2}}{(c+d)(d-c)}}
\right)
\]
Wir erweitern den Bruch vor der Klammer mit \(-1\) und multiplizieren dann die Klammer gleich mit diesem Bruch (kürzen).
\[
\color{red}{\dfrac
{c(c+d)}
{c-d}}
\left(
{\dfrac{(c-d)^2}{(c+d)(d-c)}}
\right)
\]
Dabei erhalten wir
\[
c
\dfrac{c-d}{d-c)}
\]
Wir erweitern den Bruch noch mit \(-1\) und erhalten als schöne Schlussantwort
\[-c\]
Hier wird Mathematik dargestellt, die für (Berufsmatura-)Schüler relevant ist. Die mit Seite/Nummer referenzierten Aufgaben stammen aus: Peter FROMMENWEILER / Kurt STUDER, "Mathematik für Mittelschulen", Band ALGEBRA und Band GEOMETRIE, Sauerländer Verlage AG
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02.06.2011
31.05.2011
Wurzeln - Aufgabe
A / 59 / 170 / g
\[ \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{a}}} {a\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}}} \] Wir machen im Zähler gleichnennrig und nehmen im Nenner das a unter die Wurzel. \[ \dfrac{\sqrt{\dfrac{a+1}{a}}} {\sqrt[3]{a^2+a}} \] Jetzt muss man wissen, dass gilt \[ \begin{align} \sqrt{x}&=x^\dfrac{1}{2}=x^\dfrac{3}{6}\\ \sqrt[3]{x}&=x^\dfrac{1}{3}=x^\dfrac{2}{6} \end{align} \] Darum können wir die Wurzelausdrücke mit Exponenten schreiben. \[ \dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^\dfrac{3}{6}} {\left(a^2+a\right)^\dfrac{2}{6}} \] Und das ist das gleiche wie \[ \dfrac{\left(\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^3\right)^\dfrac{1}{6}} {\left(\left(a^2+a\right)^2\right)^\dfrac{1}{6}} \] Und dann mit einem der Potenzgesetze \[ \left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^3} {\left(a\left(a+1\right)\right)^2}\right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2\left(\dfrac{a+1}{a}\right)} {\left(a\left(a+1\right)\right)^2}\right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left( \left(\dfrac {\dfrac{a+1}{a}} {a\left(a+1\right) }\right)^2 \dfrac{a+1}{a} \right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left( \dfrac {1} {a^4} \dfrac{a+1}{a} \right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left( \dfrac{a+1}{a^5} \right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \sqrt[6]{ \dfrac{a+1}{a^5}} \]
\[ \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{a}}} {a\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}}} \] Wir machen im Zähler gleichnennrig und nehmen im Nenner das a unter die Wurzel. \[ \dfrac{\sqrt{\dfrac{a+1}{a}}} {\sqrt[3]{a^2+a}} \] Jetzt muss man wissen, dass gilt \[ \begin{align} \sqrt{x}&=x^\dfrac{1}{2}=x^\dfrac{3}{6}\\ \sqrt[3]{x}&=x^\dfrac{1}{3}=x^\dfrac{2}{6} \end{align} \] Darum können wir die Wurzelausdrücke mit Exponenten schreiben. \[ \dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^\dfrac{3}{6}} {\left(a^2+a\right)^\dfrac{2}{6}} \] Und das ist das gleiche wie \[ \dfrac{\left(\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^3\right)^\dfrac{1}{6}} {\left(\left(a^2+a\right)^2\right)^\dfrac{1}{6}} \] Und dann mit einem der Potenzgesetze \[ \left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^3} {\left(a\left(a+1\right)\right)^2}\right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2\left(\dfrac{a+1}{a}\right)} {\left(a\left(a+1\right)\right)^2}\right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left( \left(\dfrac {\dfrac{a+1}{a}} {a\left(a+1\right) }\right)^2 \dfrac{a+1}{a} \right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left( \dfrac {1} {a^4} \dfrac{a+1}{a} \right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left( \dfrac{a+1}{a^5} \right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \sqrt[6]{ \dfrac{a+1}{a^5}} \]
30.05.2011
Bruchrechnen - gelöste Aufgaben
Hier eine Aufgabe, die mir auch dazu dient, meine \(\TeX\) Fähigkeiten zu testen.
A / 27 / 64 / b
\[ \dfrac { \dfrac {1} {a-\dfrac {1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {1-\dfrac {1} {a} } } } \] Wir machen zweimal gleichnennrig. \[ \dfrac { \dfrac {1} {\dfrac {a^2-1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {\dfrac {a-1} {a} } } } \] Wir teilen zweimal durch einen Bruch (umstürzen und vermehren). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {a} {a-1} } } \] Wir machen wieder gleichnennrig. Im Zähler machen wir nichts. Und glücklicherweise wird meine \(\TeX\)-Formel etwas einfacher. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {a-1-a} {a-1} } } \] Wir vereinfachen. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {-1} {a-1} } } \] Wir schaffen ein lästiges Minuszeichen aus der Welt. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {1} {1-a} } } \] Wir dividieren durch einen Bruch im Nenner. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1+a-1} \] Wir vereinfachen den Nenner. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { a} \] Und schon sind wir durch. \[ \dfrac {1} {a^2-1} \] Die Aufgabe könnte auch mit der sogenannten Erweiterungsmethode gelöst werden \[ \dfrac { \dfrac {1} {a-\dfrac {1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {1-\dfrac {1} {a} } } } \] Wir erweitern den Bruch im Zähler und den Teilbruch im Nenner mit \(a\). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {a} {a-1 } } } \] Jetzt erweitern wir den Bruch im Nenner mit \((a-1)\). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {a-1} {a-1-a} } \] Wir vereinfachen. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {a-1} {-1} } \] Und vereinfachen nochmals. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } {1-(1-a)} \] Und vereinfachen nochmals. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } {a} \] Und schon sind wir wieder durch. \[ \dfrac {1} {a^2-1} \]
A / 27 / 64 / b
\[ \dfrac { \dfrac {1} {a-\dfrac {1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {1-\dfrac {1} {a} } } } \] Wir machen zweimal gleichnennrig. \[ \dfrac { \dfrac {1} {\dfrac {a^2-1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {\dfrac {a-1} {a} } } } \] Wir teilen zweimal durch einen Bruch (umstürzen und vermehren). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {a} {a-1} } } \] Wir machen wieder gleichnennrig. Im Zähler machen wir nichts. Und glücklicherweise wird meine \(\TeX\)-Formel etwas einfacher. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {a-1-a} {a-1} } } \] Wir vereinfachen. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {-1} {a-1} } } \] Wir schaffen ein lästiges Minuszeichen aus der Welt. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {1} {1-a} } } \] Wir dividieren durch einen Bruch im Nenner. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1+a-1} \] Wir vereinfachen den Nenner. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { a} \] Und schon sind wir durch. \[ \dfrac {1} {a^2-1} \] Die Aufgabe könnte auch mit der sogenannten Erweiterungsmethode gelöst werden \[ \dfrac { \dfrac {1} {a-\dfrac {1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {1-\dfrac {1} {a} } } } \] Wir erweitern den Bruch im Zähler und den Teilbruch im Nenner mit \(a\). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {a} {a-1 } } } \] Jetzt erweitern wir den Bruch im Nenner mit \((a-1)\). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {a-1} {a-1-a} } \] Wir vereinfachen. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {a-1} {-1} } \] Und vereinfachen nochmals. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } {1-(1-a)} \] Und vereinfachen nochmals. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } {a} \] Und schon sind wir wieder durch. \[ \dfrac {1} {a^2-1} \]
16.05.2011
Bruchrechnen - gelöste Aufgaben
Aufgabe / Algebra / 21/47/e
Kürzen Sie vollständig, falls möglich.
Kommentar: Vor allem im zweiten Schritt beim Abzählen negativer Zahlen ist Vorsicht geboten. Der letzte Schritt ist Kosmetik.
Aufgabe / Algebra / 25/57/a
Vereinfachen Sie so weit als möglich. Geben Sie die Lösung als gekürzten Bruch an.
Kürzen Sie vollständig, falls möglich.
Kommentar: Vor dem Kürzen muss faktorisiert werden. Am Schluss wird durch (a - 1) gekürzt.
Aufgabe / Algebra / 23/52/a
Schreiben Sie als einen gekürzten Bruch.
Aufgabe / Algebra / 25/57/a
Vereinfachen Sie so weit als möglich. Geben Sie die Lösung als gekürzten Bruch an.
Kommentar: im letzten Schritt wurde noch das 3. Binom umgeschrieben.
Aufgabe / Algebra / 26/61/a
Vereinfachen Sie den Doppelbruch.
Bruchrechnen - Theorie
Bruchrechnen ist keine Hexerei - aber man muss sich ein paar Regeln einprägen und sich daran halten.
Ein Bruch besteht aus Zähler und Nenner
Brüche erweitern heisst, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl vermehren. Der Wert des Bruches ändert sich dadurch nicht. Der erste Bruch wurde mit 7 erweitert, der zweite mit 4.
Kürzen von Brüchen
Brüche kürzen heisst, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren. Der Wert des Bruches ändert sich dadurch nicht. Der erste Bruch wurde durch 4 gekürzt, der zweite durch a.
Gemeinsamer Nenner von Brüchen
Bevor man Brüche addieren kann, müssen sie auf den gleichen Nenner gebracht werden.
Welches ist der gemeinsame Nenner der folgenden drei Brüche?
Den gemeinsamen Nenner findet man durch Primfaktorenzerlegung, wobei jeder Faktor in der höchsten Potenz genommen werden muss.
Addition von Brüchen
Brüche werden addiert,
[indem man sie zuerst gleichnennrig macht]
die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
Hier ein Beispiel
Multiplikation von Brüchen
Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander vermehrt und die Nenner miteinander vermehrt.
Division von Brüchen
Brüche werden dividiert, indem man den zweiten Bruch umstürzt und mit dem ersten Bruch multipliziert.
Ein Bruch besteht aus Zähler und Nenner
Erweitern von Brüchen
Kürzen von Brüchen
Gemeinsamer Nenner von Brüchen
Bevor man Brüche addieren kann, müssen sie auf den gleichen Nenner gebracht werden.
Welches ist der gemeinsame Nenner der folgenden drei Brüche?
Den gemeinsamen Nenner findet man durch Primfaktorenzerlegung, wobei jeder Faktor in der höchsten Potenz genommen werden muss.
Brüche werden addiert,
[indem man sie zuerst gleichnennrig macht]
die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner beibehält.
Hier ein Beispiel
Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander vermehrt und die Nenner miteinander vermehrt.
Brüche werden dividiert, indem man den zweiten Bruch umstürzt und mit dem ersten Bruch multipliziert.
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