Wurzeln - Aufgabe

A / 59 / 170 / g

\[ \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{a}}} {a\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}}} \] Wir machen im Zähler gleichnennrig und nehmen im Nenner das a unter die Wurzel. \[ \dfrac{\sqrt{\dfrac{a+1}{a}}} {\sqrt[3]{a^2+a}} \] Jetzt muss man wissen, dass gilt \[ \begin{align} \sqrt{x}&=x^\dfrac{1}{2}=x^\dfrac{3}{6}\\ \sqrt[3]{x}&=x^\dfrac{1}{3}=x^\dfrac{2}{6} \end{align} \] Darum können wir die Wurzelausdrücke mit Exponenten schreiben. \[ \dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^\dfrac{3}{6}} {\left(a^2+a\right)^\dfrac{2}{6}} \] Und das ist das gleiche wie \[ \dfrac{\left(\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^3\right)^\dfrac{1}{6}} {\left(\left(a^2+a\right)^2\right)^\dfrac{1}{6}} \] Und dann mit einem der Potenzgesetze \[ \left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^3} {\left(a\left(a+1\right)\right)^2}\right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2\left(\dfrac{a+1}{a}\right)} {\left(a\left(a+1\right)\right)^2}\right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left( \left(\dfrac {\dfrac{a+1}{a}} {a\left(a+1\right) }\right)^2 \dfrac{a+1}{a} \right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left( \dfrac {1} {a^4} \dfrac{a+1}{a} \right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \left( \dfrac{a+1}{a^5} \right)^\dfrac{1}{6} \] \[ \sqrt[6]{ \dfrac{a+1}{a^5}} \]

Bruchrechnen - gelöste Aufgaben

Hier eine Aufgabe, die mir auch dazu dient, meine \(\TeX\) Fähigkeiten zu testen.

A / 27 / 64 / b

\[ \dfrac { \dfrac {1} {a-\dfrac {1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {1-\dfrac {1} {a} } } } \] Wir machen zweimal gleichnennrig. \[ \dfrac { \dfrac {1} {\dfrac {a^2-1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {\dfrac {a-1} {a} } } } \] Wir teilen zweimal durch einen Bruch (umstürzen und vermehren). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {a} {a-1} } } \] Wir machen wieder gleichnennrig. Im Zähler machen wir nichts. Und glücklicherweise wird meine \(\TeX\)-Formel etwas einfacher. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {a-1-a} {a-1} } } \] Wir vereinfachen. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {-1} {a-1} } } \] Wir schaffen ein lästiges Minuszeichen aus der Welt. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {1} {1-a} } } \] Wir dividieren durch einen Bruch im Nenner. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1+a-1} \] Wir vereinfachen den Nenner. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { a} \] Und schon sind wir durch. \[ \dfrac {1} {a^2-1} \] Die Aufgabe könnte auch mit der sogenannten Erweiterungsmethode gelöst werden \[ \dfrac { \dfrac {1} {a-\dfrac {1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {1-\dfrac {1} {a} } } } \] Wir erweitern den Bruch im Zähler und den Teilbruch im Nenner mit \(a\). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {a} {a-1 } } } \] Jetzt erweitern wir den Bruch im Nenner mit \((a-1)\). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {a-1} {a-1-a} } \] Wir vereinfachen. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {a-1} {-1} } \] Und vereinfachen nochmals. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } {1-(1-a)} \] Und vereinfachen nochmals. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } {a} \] Und schon sind wir wieder durch. \[ \dfrac {1} {a^2-1} \]

Vektorgeometrie - Abstandsprobleme

Zu diesem Thema kann man sich folgende Aufgaben vorstellen. Berechnen Sie den Abstand zwischen (gegeben):

1. zwei Punkten
2. einem Punkt und einer Geraden
3. einem Punkt und einer Ebenen
4. zwei Geraden
5. einer Ebenen und einer parallelen Geraden
6. zwei parallelen Ebenen

Abstand zwischen zwei Punkten.

Gegeben sind die Punkte \(A\left(1/2/5\right)\) und \(B\left (5/2/7\right)\). Bestimmen Sie den Abstand.

Wir bestimmen den Vektor \(\overrightarrow{AB}\) und berechnen seinen Betrag. \[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5-1\\ 2-2\\ 7-5\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 2\\ \end{pmatrix} \] Sein Betrag beträgt \[ \vert\overrightarrow{AB}\vert = \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 2\\ \end{pmatrix} \end{vmatrix} =\sqrt{4^2+0^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \] Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden.

Gegeben sei der Punkt \(P\left(1/10/-1\right)\) und folgende Gerade. \[ g:\vec{r} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -2\\ \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ -3\\ \end{pmatrix} \] Wie weit ist P von der Geraden g entfernt (kürzester Abstand)?

Auch hier hilft eine kleine Skizze.

Der Punkt \(Q\) liegt auf der Geraden g und hat somit folgende Koordinaten \[Q\left(1+2t/2t/-2-3t\right)\] Damit ergibt sich für den senktrechten Abstandsvektor \[ \overrightarrow{QP} = \begin{pmatrix} -2t\\ 10-2t\\ 1+3t\\ \end{pmatrix} \] Und wir können das Skalarprodukt formulieren \[ \overrightarrow{QP} \circ \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ -3\\ \end{pmatrix} =-4t-4t-9t+20-3=-17t=-17 \Rightarrow t=1 \] Mit diesem t hat der Punkt Q die folgenden Koordianten \[Q\left(3/2/-5\right)\] Und für den Abstandsvektor erhalten wir \[ \overrightarrow{QP} = \begin{pmatrix} -2\\ 8\\ 4\\ \end{pmatrix} \] Und damit beträgt der gesuchte Abstand \[ d= \vert\overrightarrow{QP}\vert = \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -2\\ 8\\ 4\\ \end{pmatrix} \end{vmatrix} =\sqrt{2^2+8^2+4^2}=\sqrt{84}=2\sqrt{21} \] Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene.

Gegeben sei der Punkt \(P\left(1/10/-1\right)\) und folgende Ebene. \[E:x+2y+3z=4\] Wieder hilft uns eine Skizze. Wenn wir einen Schnitt zeichnen, kommen wir praktisch auf die gleiche Skizze wie bei der vorigen Aufgabe.

Das Verfahren ist aber leicht verschieden.

Aus der Ebenengleichung gewinnen wir den Normalenvektor, also einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene liegt. \[ \vec{n} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \] Damit können wir leicht die Gleichung der Geraden formulieren, die durch P geht und senkrecht zur Ebene verläuft. \[ g: \vec{r} \begin{pmatrix} 1\\ 10\\ -1 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \] Um den Punkt Q zu erhalten schneiden wir diese Gerade mit der Ebene. \[1+t+2\left(20+2t\right)+3\left(-1+3t\right)=4\] Damit erhalten wir das t, "mit dem man auf der Geraden von P nach Q reisen kann", in unserem Fall ist \(t=-1\)

Und so erhalten wir dann der Reihe nach die Koordinaten des Punktes Q, dann den Vektor \(\overrightarrow{QP}\) und am Schluss dessen Betrag. Wenn Sie richtig rechnen erhalten Sie \(d=\sqrt{14}\).

Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden.

Gegeben sind die beiden folgenden Geraden. \[ g: \vec{r} \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \] \[ h: \vec{r} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} \] Dies ergibt für die Punkte \(P\) und \(Q\) die folgenden Koordinaten. \[P\left(-s/0/-1+2s\right)\qquad Q\left(1+t/2t/t\right)\] Der Vektor von \(P\) nach \(Q\) lautet dann \[ \overrightarrow{PQ}= \begin{pmatrix} 1+t+s\\ 2t\\ 1+t-2s \end{pmatrix} \] Und jetzt können wir zweimal das Skalarprodukt notieren. \[ \begin{align} \overrightarrow{PQ} \circ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1+t+s\\ 2t\\ 1+t-2s\\ \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\\ \end{pmatrix}\\ &=1+t+s+4t+1+t-2s=0 \end{align} \] \[ \Rightarrow 6t-s=-2 \] \[ \begin{align} \overrightarrow{PQ} \circ \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2\\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1+t+s\\ 2t\\ 1+t-2s\\ \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2\\ \end{pmatrix}\\ &=-1-t-s+2+2t-4s=0 \end{align} \] \[ \Rightarrow t-5s=-1 \] Womit wir zu einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten gekommen sind. Dies lässt sich auf eine der gelernten Arten lösen. Wir erhalten für s und t (bitte kontrollieren):

\[s=\frac{4}{29}\quad\text{und}\quad t=-\frac{9}{29}\] Weiter erhält man mit etwas geschicktem Bruchrechnen

\[ \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{29} \begin{pmatrix} 24\\ 18\\ 12 \end{pmatrix} \] Und damit als gesuchten Abstand d \[ \vert \overrightarrow{PQ}\vert=\frac{6}{\sqrt{29}} \] Die restlichen Aufgabentypen sollten nun keine Probleme mehr bieten.

Vektorgeometrie - Ebenengleichung

DER INTERNET EXPLORER ZEIGT DIE FORMELN VIELLEICHT NICHT KORREKT AN.

Ich will hier zeigen, wie man zur Ebenengleichung kommt. Die Koordinatengleichung der Ebene lautet wie folgt. \[Ax+By+Cz=D\] Eine Ebene kann folgendermassen bestimmt sein.

1. durch drei Punkte
2. durch zwei sich schneidende Geraden
3. durch zwei parallele Geaden
4. durch eine Gerade und einen Punkt
5. durch einen Punkt und einen senkrechten Vektor auf der Ebenen

Wir gehen hier von der letzten Möglichkeit aus. Schauen Sie sich das folgende Bild an.

Durch einen Punkt alleine ist die Ebene natürlich nicht definiert. Denken Sie an eine Balnacierscheibe, wie man sie in Parks findet, und an der Kinder Gefallen finden. Sobald ich aber einen zur Ebenen senkrechten Vektor habe, ist die Ebene fix (wie ein Regenschirm vielleicht).

Wenn ich vom Punkt P zu beliebigen Punkten Q auf der Ebene zeige, erhalte ich immer einen Vektor, der senkrecht zum gegebenen Vektor ist. Und damit können wir schnell das Skalarprodukt formulieren \[\vec{n}\circ\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1\\y-6\\z-3\\\end{pmatrix}=2x+y+2z-14=0\] Damit haben wir auch die Ebenengleichung. \[2x+y+2z=14\] Auf das gleiche Resultat sollten wir stossen, wenn wir einen anderen Normalenvektor wählen, zum Beispiel einen, der doppelt so lang ist. Die Rechnung lautet dann folgendermassen: \[\vec{n_1}\circ\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}4\\2\\4\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1\\y-6\\z-3\\\end{pmatrix}=4x+2y+4z-28=0\] Die Ebenengleichung wird damit einfach um 2 erweitert. Die Gleichung stellt aber die gleiche Ebene dar.

Was passiert, wenn wir einen anderen Punkt P vorgegeben haben, z.B. \(P_1=(1/6/2)\), aber den gleichen Normalenvektor? Es handelt sich also um eine zur obenen Ebene parallele Ebene.

Wieder rechnen wir das Skalarprodukt. \[\vec{n}\circ\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1\\y-6\\z-2\\\end{pmatrix}=2x+y+2z-12=0\] Damit haben wir auch die Ebenengleichung. \[2x+y+2z=12\] Wir stellen also fest, dass uns die Koeffizienten A, B, C und D alle nötigen Informationen über die gegenseitige Lage von Ebenen liefern.

Gleichungssystem - lösen

DER INTERNET EXPLORER ZEIGT DIE FORMELN VIELLEICHT NICHT KORREKT AN.

Ich bin daran, mich in \(\TeX{}\) einzuarbeiten. Damit sollten meine Blog Einträge besser lesbar werden. Ich löse hier ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten. Es handelt sich um folgende Aufgabe: A/131/411/a \[ \begin{align} x+y &=5-2z\tag{A}\\ x+z&=8-2y\tag{B}\\ 11-z&=2x+y\tag{C} \end{align} \] Zuerst ordnen wir neu. \[ \begin{align} x+y+2z &=5\tag{D} \\x+2y+z &=8\tag{E} \\2x+y+z &=11\tag{F} \end{align} \] Wir eliminieren \(x\), indem wir "D-E" und "2D-F" rechnen. \[ \begin{align} -y+z &=-3\tag{G}\\ y+3z &=-1\tag{H} \end{align} \] Wir eliminieren \(y\), indem wir "G+H" rechnen. \[ \begin{align} 4z &=-4\tag{I} \end{align} \]Damit ist \(z=-1\). \(y=2\) erhalten wir aus Gleichung H. Aus Gleichung D folgt dann \(x=5\). Die Lösung ist also \(\left(5/2/-1\right)\). Die Kontrolle sollte die Richtigkeit der Rechnung bestätigen. Die gefundenen Werte müssen die Gleichungen A, B und C erfüllen. Man kann die drei Gleichungen geometrisch als Ebenen auffassen. Sie schneiden sich in einem Punkt. Dies zeigt das folgende Bild.

Die Lösung des Gleichungssystems entspricht dem Schnittpunkt \(S=\left(5/2/-1\right)\). Hier noch die folgende Aufgabe: A/131/411/d \[\begin{align}3v+1&=4u+5w\\u-7w&=14-2v\\9w+1&=5v-6u\end{align}\]Zuerst ordnen wir neu.\[\begin{align}4u-3v+5w&=1\tag{A}\\u+2v-7w&=14\tag{B}\\6u-5v+9w&=-1\tag{C}\end{align}\]Wir eliminieren u, indem wir "A-4B" und "C-6B" rechnen.\[\begin{align}-11v+33w&=-55\tag{D}\\-17v+51w&=-85\tag{E}\end{align}\]Wir dividieren Gleichung D durch \(-11\) und Gleichung E durch \(17\).\[\begin{align}v-3w&=5\tag{D}\\-v+3w&=-5\tag{E}\end{align}\]Diese beiden Gleichungen sind äquivalent. Wir erhalten also als dritte Stufe:\[v-3w=5\tag{F}\]Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Wir schreiben \(w=\lambda\), wobei \(\lambda\in\mathbf{R}\). Aus Gleichung F folgt dann \(v=5+3\lambda\). u folgt aus Gleichung B.\[\begin{align}u&=14-2v+7w\\&=14-10-6\lambda+7\lambda\\&=4+\lambda\end{align}\]Und damit ist die Lösung:\[\left(\lambda+4/3\lambda+5/\lambda\right)\text{ mit }\lambda\in\mathbf{R}\]Wir interpretieren die drei Gleichungen wieder als Ebenengleichung und stellen diese graphisch dar. Man sieht dann, dass sich die Ebenen in einer Geraden schneiden.

Exponentielle Prozesse

Lösen wir ein paar konkrete Beispiele.

Beispiel - Zinseszins

Wenn man Geld auf die Bank bringt, erhält man dafür Zins - zwar nicht viel aber doch ein wenig. Der Zins wird dann zum Kapital geschlagen und auch verzinst - u.s.w. bis man alles Geld wieder abhebt.

Hier zuerst die Variablen, die wir in unserer Rechnung brauchen.

Jetzt berechnen wir das Kapital nach einem Jahr.

 

Das Kapital nach einem Jahr erhält man also, indem man das Anfangskapital mit q vermehrt.

Und da der Zins immer zum Kapital geschlagen wird, gilt entsprechend:

Das Kapital nach zwei Jahren erhält man, indem man das Kapital nach einem Jahr mit q vermehrt.

u.s.w.

Allgemein kann man formulieren:

Das neue Kapital erhält man, indem man das Kapital des Vorjahres mit q vermehrt.

Damit kommen wir zu der folgenden Formel für die Zinseszinsberechnung.

Zahlenbeispiel

Wie viel beträgt mein Kapital nach 10 Jahren wenn ich 2000 Franken zu 3% anlege?

 

Ich habe auch noch das Kapital nach 100 Jahren ausgerechnet. Mit Zinseszins ist es also leicht, reich und sogar Millionär zu werden. Dies wegen des exponentiellen Wachstums. Man muss nur lange genug warten. Die obige Rechnung ergibt für 1000 Jahre eine Zahl mit 17 Stellen. Diese Tatsache liefert denjenigen ein starkes Argument, die gegen jede Zinszahlung sind.

Zinssatz - Zinsfaktor

Es ist wichtig, dass man gut zwischen p und q unterscheidet. Siehe folgende Tabelle.

Hier eine Visualisierung mit GeoGebra. K, p und t können reguliert werden. Man sieht, dass die Kurve exponentiell ansteigt.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) 

Beispiel - Blatt zerreissen

Jemand nimmt ein A4-Blatt Papier, reisst das Blatt mitten auseinander und legt die beiden Hälften aufeinander. Dann zerreisst er die beiden Hälften. Diesen Prozess wiederholt er fünfzig mal. Gegeben, dass ein Blatt Papier 0.07 mm dick ist, wie dick ist die Beige nach dem 50. Zerreissen?

Rechnen Sie selber und staunen Sie ob der Grösse der erhaltenen Zahl. Wie viele Erdumfänge gibt das?

Beispiel - Algenwachstum

Ein Algenpopulation im Genfersee nimmt eine Fläche von einem halben Quadratmeter ein. Sie verdreifacht sich alle vier Tage. Leiten Sie eine Formel für das Algenwachstum her.

Es geht also darum, eine Formel für die Fläche in Funktion der Zeit in Tagen zu finden.

Dies ist noch nicht die gewünschte Formel, denn "sie macht Vierersprünge".

Wir können durch Gleichsetzen der beiden Formeln q, den Wachstumsfaktor pro Tag, herausfinden.

Und damit lautet die gesuchte Formel:

MERKEN SIE SICH DIE BEDEUTUNG DER ZAHLEN 3 UND 4.

Parabel - Tangente

Was ist eine Tangente?

Die fogenden Graphen zeigen es. Eine Tangente ist eine Gerade, die mit einem Graph genau einen Punkt gemeinsam hat. Anstelle von Tangente könnte man auch sagen Berührende.

 

In der Berufsmatura bestimmen wir nur Tangenten an Parabeln.

Eine mögliche Aufgabe könnte sein:

Bestimme von einem gegebenen Punkt die Tangente(n) an eine gegebene Parabel. Und das wollen wir jetzt hier tun.

Aufgabe

Gegeben ist der Punkt P(-1/-2)

und die oben schon mal skizzierte Parabel mit der Gleichung

Die Tangente ist natürlich eine Gerade, und damit muss ihre Funktionsgleichung von der folgenden Form sein.

Wobei (und dies zur Wiederholung) a die Steigung und b den y-Achsenschnittpunkt der Geraden angibt. Da die Tangente durch den gegebenen Punkt P geht, ist es naheliegend, dessen Koordinaten in die allgemeine Geradengleichung einzusetzen. Wir erhalten dann, was folgt.

Wie nicht anders zu erwarten war, erhalten wir damit die Geradengleichung noch nicht, denn eine Gerade ist durch einen Punkt allein noch nicht bestimmt. Sie kann immer noch um den Punkt P pivotieren. Zumindest erhalten wir jetzt aber den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt der Geraden. Die beiden hängen linear voneinander ab. Wir substituieren b in der allgemeinen Geradengleichung.

Da die Tangente die Parabel berührt, ist es naheliegend, die beiden einader gleichzusetzen. Dann formen wir die erhaltene Gleichung um und suchen deren Lösung (quadratische Ergänzung).

Wir haben hier die y-Werte der Parabel und Geraden gleichgestellt, und dann alles auf die linke Seite gebracht. Was wir also bei der letzten Gleichung auf der linken Seite haben, gibt den vertikalen Abstand von Gerade und Parabel in Abhängigkeit von x an. Bemerkenswert, dass dies auch eine Parabel ist.

Jetzt ist wichtig zu wissen, dass diese Gleichung nur eine Lösung hat, denn die Tangente hat nur bei einem x-Wert den Abstand 0 von der Parabel.

Das war algebraisch jetzt etwas aufwändig. Man hätte dieses Resultat schon ein paar Zeilen weiter oben ablesen können. Ich werde nach dieser Aufgabe eine Formel entwickeln, die man immer anwenden kann. Man muss sie aber dann auswendig lernen.

Wir sind zu einer quadratischen Gleichung gelangt, die wir nun mit dem Taschenrechner TI 89 lösen wollen.

Und damit können wir die Gleichungen unserer zwei Tangenten hinschreiben.

Der Graph zeigt, dass wir die Tangenten korrekt berechnet haben.

Und jetzt noch die allgemeine Herleitung einer Formel für die Tangentenberechnung.

Die folgende Formel wird also die Frage beantworten

Wann hat eine quadratische Gleichung nur eine Lösung?

Auch hier wäre die Formel schon ein paar Zeilen weiter oben ableitbar gewesen.

Hier jetzt doch noch eine schnellere Herleitung.

Hier ist die Scheitelpunktsform der Parabel hergeleitet worden.
Überlegen Sie sich, was sie aussagt, und wieso wir zum gewünschten Resultat kommen.

Quadratische Gleichungen - Aufgaben

 A/99/279/d

Lösen Sie die Gleichung ohne Fallunterscheidung.

 

Lösung

Wurzelgleichungen - Aufgaben

A/113/344/e

Lösung

Logarithmen - Aufgaben

A/67/204/j

Fassen Sie zu einem einzigen Logarithmusmuster zusammen.

Lösung

Wurzeln / Potenzen - Aufgaben

A/58/167/c

Vereinfachen Sie so weit als möglich. Schreiben Sie die Lösung mit Hilfe von Wurzelzeichen.

Lösung

Funktionsparameter

Funktionsparameter heute anhand der Wurzelfunktionen.
Immer wieder wird die Bedeutung der Funktionsparameter vergessen.
Die allgemeine Wurzelfunktionsgleichung lautet

a bewirkt eine Streckung/Stauchung in vertikaler Richtung.
a bewirkt bei negativem Vorzeichen auch eine Spiegelung an der x-Achse.
b bewirkt eine Steckung/Stauchung in horizontaler Richtung.
b bewirkt bei negativem Vorzeichen auch eine Spiegelung an der y-Achse.
c bewirkt eine Verschiebung in horizontaler Richtung.
d bewirkt eine Veschiebung in vertikaler Richtung.
Ich kann Wurzel aus b auch ausklammern, dann bewirkt es eine Streckung in vertikaler Richtung.

Nun das Beispiel

-2: Der Graph der Funktion "Wurzel aus x" wird an der x-Achse gespiegelt.
-2: Der Graph der Funktion "Wurzel aus x" wird vertikal mit dem Faktor 2 gestreckt.
-5: Der Graph wird um 5 nach unten verschoben.
3: Der Graph wird horizontal mit dem Faktor 1/3 gestaucht.
4: Der Graph wird um 4/3 nach links verschoben.

Schwierigkeiten bereitet immer der Term unter der Wurzel.
Überlegen wir wie folgt.

 

Und nochmals das gleiche mit einem anderen Wert.

 

So sollten Stauchungsfaktor und Verschiebungswert klar sein.

Man könnte das Problem auch wie folgt angehen.

 

Wir können also auch von einer vertikalen Streckung reden. Faktor "2 mal Wurzel 3".
Die Verschiebung nach links ist 4/3.

Hin und wieder soll man den Graph schrittweise skizzieren. Das sieht wie folgt aus.

Wichtig ist, dass man sich hier an die korrekte Reihenfolge hält (oben mehr oder weniger im Gegenuhrzeigersinn, angefangen mit schwarz).

Ich mache jetzt noch ein Schaubild der Ausklammermethode - nur um zu zeigen, dass das Schlussresultat identisch ist.

Funktionsgleichung - trigonometrische Funktion

Hin und wieder ist ein Funktionsgraph gegeben, und wir müssen die Funktionsgleichung bestimmen.

Hier ein Beispiel.

Es handle sich um eine Sinuskurve.

Es sind die Parameter folgender Funktionsgleichung zu bestimmen.

Parameter a ist offensichtlich: a = 2.

Parameter d ist offensichtlich: b = -4.

Schwieriger ist die Bestimmung der Parameter b und c.

b hat mit der Periodenlänge zu tun.

c hat mit der horizontalen Verschiebung zu tun.

Eine mögliche Methode

Gut ablesbare Punkte finden (hier offensichtlich die Punkte A und B).

Den Bogen nach unten zwischen A und B macht der gewöhnliche Sinus zwischen pi und 2pi.

Also macht meine "Maschine" bx + c aus 0.71 den Wert pi und berechnet davon den Sinus (0).

Also macht meine "Maschine" bx + c aus 1.76 den Wert 2pi und berechnet davon den Sinus (0).

So kann ich ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen.

Dies alles mit einer übertriebenen Genauigkeit.

Die Funktionsgleichung lautet also

Und dies ist korrekt.

Vektorgeometrie - Winkel zwischen Ebenen

In der Stereometrie, beim Thema "Winkel im Raum", lösen wir die folgende Aufgabe.

G/140/29/a

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Flächen BCE und CDE eines Würfels ABCDEFGH.

Wir wollen die Aufgabe hier vektorgeometrisch angehen und schauen, ob sich gelernte Methode zur Winkelberechnung zwischen Ebenen bewährt.

Lösung

Wir nehmen eine Kantenlänge von 1 Einheit an.

A sei der Ursprung unseres Koordinatensystems.

Die x-Achse verlaufe in Richtung von A nach B.

Die y-Achse verlaufe in Richtung von A nach D.

Die z-Achse verlaufe in Richtung von A nach E.

Die Koordinagengleichung der Ebene BCE können wir ohne Probleme direkt aufschreiben.

E(BCE): z = 1 - x.

Das gleiche gilt für die Koordinatengleichung der Ebene CDE.

E(CDE): z = 1 - y

Jetzt folgt die Methode mit den Normalvektoren.

Die Methode bewährt sich also sehr gut.

G/140/29/b

Gleiche Aufgabenstellung, nur dass in diesem Fall ein Quader mit folgenden Seitenlängen gegeben ist.

 

Die Ebenengleichungen lauten nun wie folgt.

Und jetzt folgt wieder die Methode mit den Normalenvektoren.

Wir wollen gleich unseren Taschenrechner TI 89 einsetzen.

Und die Methode bewährt sich auch hier.