Vektorgeometrie - Ebenengleichung

DER INTERNET EXPLORER ZEIGT DIE FORMELN VIELLEICHT NICHT KORREKT AN.

Ich will hier zeigen, wie man zur Ebenengleichung kommt. Die Koordinatengleichung der Ebene lautet wie folgt. \[Ax+By+Cz=D\] Eine Ebene kann folgendermassen bestimmt sein.

1. durch drei Punkte
2. durch zwei sich schneidende Geraden
3. durch zwei parallele Geaden
4. durch eine Gerade und einen Punkt
5. durch einen Punkt und einen senkrechten Vektor auf der Ebenen

Wir gehen hier von der letzten Möglichkeit aus. Schauen Sie sich das folgende Bild an.

Durch einen Punkt alleine ist die Ebene natürlich nicht definiert. Denken Sie an eine Balnacierscheibe, wie man sie in Parks findet, und an der Kinder Gefallen finden. Sobald ich aber einen zur Ebenen senkrechten Vektor habe, ist die Ebene fix (wie ein Regenschirm vielleicht).

Wenn ich vom Punkt P zu beliebigen Punkten Q auf der Ebene zeige, erhalte ich immer einen Vektor, der senkrecht zum gegebenen Vektor ist. Und damit können wir schnell das Skalarprodukt formulieren \[\vec{n}\circ\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1\\y-6\\z-3\\\end{pmatrix}=2x+y+2z-14=0\] Damit haben wir auch die Ebenengleichung. \[2x+y+2z=14\] Auf das gleiche Resultat sollten wir stossen, wenn wir einen anderen Normalenvektor wählen, zum Beispiel einen, der doppelt so lang ist. Die Rechnung lautet dann folgendermassen: \[\vec{n_1}\circ\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}4\\2\\4\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1\\y-6\\z-3\\\end{pmatrix}=4x+2y+4z-28=0\] Die Ebenengleichung wird damit einfach um 2 erweitert. Die Gleichung stellt aber die gleiche Ebene dar.

Was passiert, wenn wir einen anderen Punkt P vorgegeben haben, z.B. \(P_1=(1/6/2)\), aber den gleichen Normalenvektor? Es handelt sich also um eine zur obenen Ebene parallele Ebene.

Wieder rechnen wir das Skalarprodukt. \[\vec{n}\circ\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1\\y-6\\z-2\\\end{pmatrix}=2x+y+2z-12=0\] Damit haben wir auch die Ebenengleichung. \[2x+y+2z=12\] Wir stellen also fest, dass uns die Koeffizienten A, B, C und D alle nötigen Informationen über die gegenseitige Lage von Ebenen liefern.