Vektorgeometrie - Winkelberechnung

Wir nehmen wieder eine Aufgabe aus der Stereometrie, wo es darum geht, Winkel zwischen Ebenen und zwischen Geraden und Ebenen zu bestimmen, und schauen, ob sich die Vektorgeometrie dabei bewährt.


G/148/89


Alle Kanten einer vierseitigen Pyramide sind gleich lang. Berechnen Sie den Winkel zwischen
a) einer Seitenkante und der Grundfläche
b) einer Seitenfläche und der Grundfläche
c) zwei angrenzenden Seitenflächen


Wir erstellen eine Skizze und definieren ein Koordinatensysem.

Wir wählen eine Kantenlänge von 2 Einheiten.
Die Höhe lässt sich leicht über den Pythagoras berechnen.


Winkel zwischen einer Seitenkante und der Grundfläche


Dazu benötigen wir die folgenden Elemente.

Mit dem Skalarprodukt lässt sich der Winkel leicht berechnen.

Winkel zwischen einer Seitenfläche und der Grundfläche


Die Gleichung der Grundfläche und ihren Normalenvektor haben wir oben schon formuliert.
Für die Seitenfläche nehmen wir die Ebene durch die Punkte O, A und E.
Diese Ebene ist parallel zur x-Achse. z ist also nur von y abhängig. Ihre Koordinatengleichung und der entsprechende Normalenvektor lauten also:

Weiter geht es wieder mit dem Skalarprodukt. Man nimmt die Normalenvektoren der beiden Ebenen.

Winkel zwischen zwei angrenzenden Seitenflächen


Wir nehmen die Flächen links, die wir schon berechnet haben, und vorne.
Die Fläche vorne liegt auf einer Ebenen, die parallel zur y-Achse ist. In diesem Falle ist z eine Funktion von y. Wieder kommt man schnell zur Ebenengleichung und zum Normalenvektor.
Der Rest entspricht wieder dem Vorgehen von oben (Skalarprodukt der Normalenvektoren). Auch hier muss man sich wieder überlegen, welchen Winkel es zu nehmen gilt.

Vektorgeometrie - Winkel zwischen Ebenen

In der Stereometrie, beim Thema "Winkel im Raum", lösen wir die folgende Aufgabe.

G/140/29/a

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Flächen BCE und CDE eines Würfels ABCDEFGH.

Wir wollen die Aufgabe hier vektorgeometrisch angehen und schauen, ob sich gelernte Methode zur Winkelberechnung zwischen Ebenen bewährt.

Lösung

Wir nehmen eine Kantenlänge von 1 Einheit an.

A sei der Ursprung unseres Koordinatensystems.

Die x-Achse verlaufe in Richtung von A nach B.

Die y-Achse verlaufe in Richtung von A nach D.

Die z-Achse verlaufe in Richtung von A nach E.

Die Koordinagengleichung der Ebene BCE können wir ohne Probleme direkt aufschreiben.

E(BCE): z = 1 - x.

Das gleiche gilt für die Koordinatengleichung der Ebene CDE.

E(CDE): z = 1 - y

Jetzt folgt die Methode mit den Normalvektoren.

Die Methode bewährt sich also sehr gut.

G/140/29/b

Gleiche Aufgabenstellung, nur dass in diesem Fall ein Quader mit folgenden Seitenlängen gegeben ist.

 

Die Ebenengleichungen lauten nun wie folgt.

Und jetzt folgt wieder die Methode mit den Normalenvektoren.

Wir wollen gleich unseren Taschenrechner TI 89 einsetzen.

Und die Methode bewährt sich auch hier.