Exponentielle Prozesse

Lösen wir ein paar konkrete Beispiele.

Beispiel - Zinseszins

Wenn man Geld auf die Bank bringt, erhält man dafür Zins - zwar nicht viel aber doch ein wenig. Der Zins wird dann zum Kapital geschlagen und auch verzinst - u.s.w. bis man alles Geld wieder abhebt.

Hier zuerst die Variablen, die wir in unserer Rechnung brauchen.

Jetzt berechnen wir das Kapital nach einem Jahr.

 

Das Kapital nach einem Jahr erhält man also, indem man das Anfangskapital mit q vermehrt.

Und da der Zins immer zum Kapital geschlagen wird, gilt entsprechend:

Das Kapital nach zwei Jahren erhält man, indem man das Kapital nach einem Jahr mit q vermehrt.

u.s.w.

Allgemein kann man formulieren:

Das neue Kapital erhält man, indem man das Kapital des Vorjahres mit q vermehrt.

Damit kommen wir zu der folgenden Formel für die Zinseszinsberechnung.

Zahlenbeispiel

Wie viel beträgt mein Kapital nach 10 Jahren wenn ich 2000 Franken zu 3% anlege?

 

Ich habe auch noch das Kapital nach 100 Jahren ausgerechnet. Mit Zinseszins ist es also leicht, reich und sogar Millionär zu werden. Dies wegen des exponentiellen Wachstums. Man muss nur lange genug warten. Die obige Rechnung ergibt für 1000 Jahre eine Zahl mit 17 Stellen. Diese Tatsache liefert denjenigen ein starkes Argument, die gegen jede Zinszahlung sind.

Zinssatz - Zinsfaktor

Es ist wichtig, dass man gut zwischen p und q unterscheidet. Siehe folgende Tabelle.

Hier eine Visualisierung mit GeoGebra. K, p und t können reguliert werden. Man sieht, dass die Kurve exponentiell ansteigt.

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Beispiel - Blatt zerreissen

Jemand nimmt ein A4-Blatt Papier, reisst das Blatt mitten auseinander und legt die beiden Hälften aufeinander. Dann zerreisst er die beiden Hälften. Diesen Prozess wiederholt er fünfzig mal. Gegeben, dass ein Blatt Papier 0.07 mm dick ist, wie dick ist die Beige nach dem 50. Zerreissen?

Rechnen Sie selber und staunen Sie ob der Grösse der erhaltenen Zahl. Wie viele Erdumfänge gibt das?

Beispiel - Algenwachstum

Ein Algenpopulation im Genfersee nimmt eine Fläche von einem halben Quadratmeter ein. Sie verdreifacht sich alle vier Tage. Leiten Sie eine Formel für das Algenwachstum her.

Es geht also darum, eine Formel für die Fläche in Funktion der Zeit in Tagen zu finden.

Dies ist noch nicht die gewünschte Formel, denn "sie macht Vierersprünge".

Wir können durch Gleichsetzen der beiden Formeln q, den Wachstumsfaktor pro Tag, herausfinden.

Und damit lautet die gesuchte Formel:

MERKEN SIE SICH DIE BEDEUTUNG DER ZAHLEN 3 UND 4.

Funktionen - Arten

Sicher mit Funktionen umgehen können, ist eines der grossen Ziele, die wir in der Mathematik verfolgen. Hier ein Überblick über die verschiedenen Funktionsarten.

Lineare Funktionen

Hier die allgemeine Funktionsgleichung und ein Beispiel:

Der Parameter a gibt die Steigung der Geraden an.

Der Parameter b gibt den y-Achsenschnittpunkt an.

Der Funktionsgraph sieht wie folgt aus.

Quadratische Funktionen

Hier zuerst die allgemeinen Funktionsgleichungen, und zwar der Reihe nach

1. Die Grundform
2. Die Scheitelform
3. Die Produktform

 

Der Parameter a gibt den Grad der Öffnung der Parabel an (nach oben, nach unten).

Der Parameter c gibt den y-Achsenschnittpunkt an.

Der Parameter m gibt den x-Wert des Scheitelpunktes an.

Der Parameter n gibt den y-Wert des Scheitelpunktes an.

Die Parameter r und s geben die Nullstellen an.

Die Gleichungen können ineinander umgewandelt werden (ausmultiplizieren - quadratische Ergänzung - Bestimmung der Nullstellen).

Hier ein konkretes Beispiel.

 Der Funktionsgraph sieht wie folgt aus.

Potenzfunktionen

 Hier zuerst wieder die allgemeine Funktionsgleichung.

Der Parameter a gibt Auskunft über die Steilheit des Graphen.

Der Parameter d gibt Auskunft über die vertikale Verschiebung des Graphen.

Entscheidend ist auch der Parameter n (gerade oder ungerade).

Hier zwei konkrete Beispiele.

Der Funktionsgraph sieht wie folgt aus.

Rationale Funktionen

Wir studieren rationale Funktionen von der folgenden allgemeinen Form.

Der Parameter a informiert uns über die Streckung/Stauchung in vertikaler Richtung (gegenüber der Normalform).

Der Parameter b informiert uns über die Streckung/Stauchung in horizontaler Richtung (gegenüber der Normalform).

Der Parameter c informiert uns über die Verschiebung in horizontaler Richtung (wie viel?) (gegenüber der Normalform).

Der Parameter d informiert uns über die Verschiebung in vertikaler Richtung (gegenüber der Normalform).

Der Nenner informiert uns über die Polstelle(n).

d informiert uns über die horizontale Asymptote.

Hier ein einfaches Beispiel.

Wurzel

Hier der Funktionsgraph.

Wurzelfunktionen

Hier nur noch die Normalform als Graph.

Exponentialfunktionen

Hier nur noch die Normalform als Graph.

Logarithmusfunktionen

Hier nur noch die Normalform als Graph.

Trigonometrische Funktionen

Dazu verweise ich auf ein anderes Post.