DER INTERNET EXPLORER ZEIGT DIE FORMELN VIELLEICHT NICHT KORREKT AN.
Ich bin daran, mich in \(\TeX{}\) einzuarbeiten. Damit sollten meine Blog Einträge besser lesbar werden.
Ich löse hier ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten.
Es handelt sich um folgende Aufgabe:
A/131/411/a
\[
\begin{align}
x+y &=5-2z\tag{A}\\
x+z&=8-2y\tag{B}\\
11-z&=2x+y\tag{C}
\end{align}
\]
Zuerst ordnen wir neu.
\[
\begin{align}
x+y+2z &=5\tag{D}
\\x+2y+z &=8\tag{E}
\\2x+y+z &=11\tag{F}
\end{align}
\]
Wir eliminieren \(x\), indem wir "D-E" und "2D-F" rechnen.
\[
\begin{align}
-y+z &=-3\tag{G}\\
y+3z &=-1\tag{H}
\end{align}
\]
Wir eliminieren \(y\), indem wir "G+H" rechnen.
\[
\begin{align}
4z &=-4\tag{I}
\end{align}
\]Damit ist \(z=-1\).
\(y=2\) erhalten wir aus Gleichung H.
Aus Gleichung D folgt dann \(x=5\).
Die Lösung ist also \(\left(5/2/-1\right)\).
Die Kontrolle sollte die Richtigkeit der Rechnung bestätigen. Die gefundenen Werte müssen die Gleichungen A, B und C erfüllen.
Man kann die drei Gleichungen geometrisch als Ebenen auffassen. Sie schneiden sich in einem Punkt. Dies zeigt das folgende Bild.
Die Lösung des Gleichungssystems entspricht dem Schnittpunkt \(S=\left(5/2/-1\right)\).
Hier noch die folgende Aufgabe:
A/131/411/d
\[\begin{align}3v+1&=4u+5w\\u-7w&=14-2v\\9w+1&=5v-6u\end{align}\]Zuerst ordnen wir neu.\[\begin{align}4u-3v+5w&=1\tag{A}\\u+2v-7w&=14\tag{B}\\6u-5v+9w&=-1\tag{C}\end{align}\]Wir eliminieren u, indem wir "A-4B" und "C-6B" rechnen.\[\begin{align}-11v+33w&=-55\tag{D}\\-17v+51w&=-85\tag{E}\end{align}\]Wir dividieren Gleichung D durch \(-11\) und Gleichung E durch \(17\).\[\begin{align}v-3w&=5\tag{D}\\-v+3w&=-5\tag{E}\end{align}\]Diese beiden Gleichungen sind äquivalent. Wir erhalten also als dritte Stufe:\[v-3w=5\tag{F}\]Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
Wir schreiben \(w=\lambda\), wobei \(\lambda\in\mathbf{R}\).
Aus Gleichung F folgt dann \(v=5+3\lambda\).
u folgt aus Gleichung B.\[\begin{align}u&=14-2v+7w\\&=14-10-6\lambda+7\lambda\\&=4+\lambda\end{align}\]Und damit ist die Lösung:\[\left(\lambda+4/3\lambda+5/\lambda\right)\text{ mit }\lambda\in\mathbf{R}\]Wir interpretieren die drei Gleichungen wieder als Ebenengleichung und stellen diese graphisch dar. Man sieht dann, dass sich die Ebenen in einer Geraden schneiden.
