Vektorgeometrie - Abstandsprobleme

Zu diesem Thema kann man sich folgende Aufgaben vorstellen. Berechnen Sie den Abstand zwischen (gegeben):

1. zwei Punkten
2. einem Punkt und einer Geraden
3. einem Punkt und einer Ebenen
4. zwei Geraden
5. einer Ebenen und einer parallelen Geraden
6. zwei parallelen Ebenen

Abstand zwischen zwei Punkten.

Gegeben sind die Punkte \(A\left(1/2/5\right)\) und \(B\left (5/2/7\right)\). Bestimmen Sie den Abstand.

Wir bestimmen den Vektor \(\overrightarrow{AB}\) und berechnen seinen Betrag. \[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5-1\\ 2-2\\ 7-5\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 2\\ \end{pmatrix} \] Sein Betrag beträgt \[ \vert\overrightarrow{AB}\vert = \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 2\\ \end{pmatrix} \end{vmatrix} =\sqrt{4^2+0^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \] Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden.

Gegeben sei der Punkt \(P\left(1/10/-1\right)\) und folgende Gerade. \[ g:\vec{r} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -2\\ \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ -3\\ \end{pmatrix} \] Wie weit ist P von der Geraden g entfernt (kürzester Abstand)?

Auch hier hilft eine kleine Skizze.

Der Punkt \(Q\) liegt auf der Geraden g und hat somit folgende Koordinaten \[Q\left(1+2t/2t/-2-3t\right)\] Damit ergibt sich für den senktrechten Abstandsvektor \[ \overrightarrow{QP} = \begin{pmatrix} -2t\\ 10-2t\\ 1+3t\\ \end{pmatrix} \] Und wir können das Skalarprodukt formulieren \[ \overrightarrow{QP} \circ \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ -3\\ \end{pmatrix} =-4t-4t-9t+20-3=-17t=-17 \Rightarrow t=1 \] Mit diesem t hat der Punkt Q die folgenden Koordianten \[Q\left(3/2/-5\right)\] Und für den Abstandsvektor erhalten wir \[ \overrightarrow{QP} = \begin{pmatrix} -2\\ 8\\ 4\\ \end{pmatrix} \] Und damit beträgt der gesuchte Abstand \[ d= \vert\overrightarrow{QP}\vert = \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -2\\ 8\\ 4\\ \end{pmatrix} \end{vmatrix} =\sqrt{2^2+8^2+4^2}=\sqrt{84}=2\sqrt{21} \] Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene.

Gegeben sei der Punkt \(P\left(1/10/-1\right)\) und folgende Ebene. \[E:x+2y+3z=4\] Wieder hilft uns eine Skizze. Wenn wir einen Schnitt zeichnen, kommen wir praktisch auf die gleiche Skizze wie bei der vorigen Aufgabe.

Das Verfahren ist aber leicht verschieden.

Aus der Ebenengleichung gewinnen wir den Normalenvektor, also einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene liegt. \[ \vec{n} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \] Damit können wir leicht die Gleichung der Geraden formulieren, die durch P geht und senkrecht zur Ebene verläuft. \[ g: \vec{r} \begin{pmatrix} 1\\ 10\\ -1 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \] Um den Punkt Q zu erhalten schneiden wir diese Gerade mit der Ebene. \[1+t+2\left(20+2t\right)+3\left(-1+3t\right)=4\] Damit erhalten wir das t, "mit dem man auf der Geraden von P nach Q reisen kann", in unserem Fall ist \(t=-1\)

Und so erhalten wir dann der Reihe nach die Koordinaten des Punktes Q, dann den Vektor \(\overrightarrow{QP}\) und am Schluss dessen Betrag. Wenn Sie richtig rechnen erhalten Sie \(d=\sqrt{14}\).

Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden.

Gegeben sind die beiden folgenden Geraden. \[ g: \vec{r} \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \] \[ h: \vec{r} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} \] Dies ergibt für die Punkte \(P\) und \(Q\) die folgenden Koordinaten. \[P\left(-s/0/-1+2s\right)\qquad Q\left(1+t/2t/t\right)\] Der Vektor von \(P\) nach \(Q\) lautet dann \[ \overrightarrow{PQ}= \begin{pmatrix} 1+t+s\\ 2t\\ 1+t-2s \end{pmatrix} \] Und jetzt können wir zweimal das Skalarprodukt notieren. \[ \begin{align} \overrightarrow{PQ} \circ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1+t+s\\ 2t\\ 1+t-2s\\ \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\\ \end{pmatrix}\\ &=1+t+s+4t+1+t-2s=0 \end{align} \] \[ \Rightarrow 6t-s=-2 \] \[ \begin{align} \overrightarrow{PQ} \circ \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2\\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1+t+s\\ 2t\\ 1+t-2s\\ \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2\\ \end{pmatrix}\\ &=-1-t-s+2+2t-4s=0 \end{align} \] \[ \Rightarrow t-5s=-1 \] Womit wir zu einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten gekommen sind. Dies lässt sich auf eine der gelernten Arten lösen. Wir erhalten für s und t (bitte kontrollieren):

\[s=\frac{4}{29}\quad\text{und}\quad t=-\frac{9}{29}\] Weiter erhält man mit etwas geschicktem Bruchrechnen

\[ \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{29} \begin{pmatrix} 24\\ 18\\ 12 \end{pmatrix} \] Und damit als gesuchten Abstand d \[ \vert \overrightarrow{PQ}\vert=\frac{6}{\sqrt{29}} \] Die restlichen Aufgabentypen sollten nun keine Probleme mehr bieten.

Vektorgeometrie - Ebenengleichung

DER INTERNET EXPLORER ZEIGT DIE FORMELN VIELLEICHT NICHT KORREKT AN.

Ich will hier zeigen, wie man zur Ebenengleichung kommt. Die Koordinatengleichung der Ebene lautet wie folgt. \[Ax+By+Cz=D\] Eine Ebene kann folgendermassen bestimmt sein.

1. durch drei Punkte
2. durch zwei sich schneidende Geraden
3. durch zwei parallele Geaden
4. durch eine Gerade und einen Punkt
5. durch einen Punkt und einen senkrechten Vektor auf der Ebenen

Wir gehen hier von der letzten Möglichkeit aus. Schauen Sie sich das folgende Bild an.

Durch einen Punkt alleine ist die Ebene natürlich nicht definiert. Denken Sie an eine Balnacierscheibe, wie man sie in Parks findet, und an der Kinder Gefallen finden. Sobald ich aber einen zur Ebenen senkrechten Vektor habe, ist die Ebene fix (wie ein Regenschirm vielleicht).

Wenn ich vom Punkt P zu beliebigen Punkten Q auf der Ebene zeige, erhalte ich immer einen Vektor, der senkrecht zum gegebenen Vektor ist. Und damit können wir schnell das Skalarprodukt formulieren \[\vec{n}\circ\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1\\y-6\\z-3\\\end{pmatrix}=2x+y+2z-14=0\] Damit haben wir auch die Ebenengleichung. \[2x+y+2z=14\] Auf das gleiche Resultat sollten wir stossen, wenn wir einen anderen Normalenvektor wählen, zum Beispiel einen, der doppelt so lang ist. Die Rechnung lautet dann folgendermassen: \[\vec{n_1}\circ\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}4\\2\\4\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1\\y-6\\z-3\\\end{pmatrix}=4x+2y+4z-28=0\] Die Ebenengleichung wird damit einfach um 2 erweitert. Die Gleichung stellt aber die gleiche Ebene dar.

Was passiert, wenn wir einen anderen Punkt P vorgegeben haben, z.B. \(P_1=(1/6/2)\), aber den gleichen Normalenvektor? Es handelt sich also um eine zur obenen Ebene parallele Ebene.

Wieder rechnen wir das Skalarprodukt. \[\vec{n}\circ\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1\\y-6\\z-2\\\end{pmatrix}=2x+y+2z-12=0\] Damit haben wir auch die Ebenengleichung. \[2x+y+2z=12\] Wir stellen also fest, dass uns die Koeffizienten A, B, C und D alle nötigen Informationen über die gegenseitige Lage von Ebenen liefern.

Vektorgeometrie - Winkelberechnung

Wir nehmen wieder eine Aufgabe aus der Stereometrie, wo es darum geht, Winkel zwischen Ebenen und zwischen Geraden und Ebenen zu bestimmen, und schauen, ob sich die Vektorgeometrie dabei bewährt.


G/148/89


Alle Kanten einer vierseitigen Pyramide sind gleich lang. Berechnen Sie den Winkel zwischen
a) einer Seitenkante und der Grundfläche
b) einer Seitenfläche und der Grundfläche
c) zwei angrenzenden Seitenflächen


Wir erstellen eine Skizze und definieren ein Koordinatensysem.

Wir wählen eine Kantenlänge von 2 Einheiten.
Die Höhe lässt sich leicht über den Pythagoras berechnen.


Winkel zwischen einer Seitenkante und der Grundfläche


Dazu benötigen wir die folgenden Elemente.

Mit dem Skalarprodukt lässt sich der Winkel leicht berechnen.

Winkel zwischen einer Seitenfläche und der Grundfläche


Die Gleichung der Grundfläche und ihren Normalenvektor haben wir oben schon formuliert.
Für die Seitenfläche nehmen wir die Ebene durch die Punkte O, A und E.
Diese Ebene ist parallel zur x-Achse. z ist also nur von y abhängig. Ihre Koordinatengleichung und der entsprechende Normalenvektor lauten also:

Weiter geht es wieder mit dem Skalarprodukt. Man nimmt die Normalenvektoren der beiden Ebenen.

Winkel zwischen zwei angrenzenden Seitenflächen


Wir nehmen die Flächen links, die wir schon berechnet haben, und vorne.
Die Fläche vorne liegt auf einer Ebenen, die parallel zur y-Achse ist. In diesem Falle ist z eine Funktion von y. Wieder kommt man schnell zur Ebenengleichung und zum Normalenvektor.
Der Rest entspricht wieder dem Vorgehen von oben (Skalarprodukt der Normalenvektoren). Auch hier muss man sich wieder überlegen, welchen Winkel es zu nehmen gilt.

Vektorgeometrie - Winkel zwischen Ebenen

In der Stereometrie, beim Thema "Winkel im Raum", lösen wir die folgende Aufgabe.

G/140/29/a

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Flächen BCE und CDE eines Würfels ABCDEFGH.

Wir wollen die Aufgabe hier vektorgeometrisch angehen und schauen, ob sich gelernte Methode zur Winkelberechnung zwischen Ebenen bewährt.

Lösung

Wir nehmen eine Kantenlänge von 1 Einheit an.

A sei der Ursprung unseres Koordinatensystems.

Die x-Achse verlaufe in Richtung von A nach B.

Die y-Achse verlaufe in Richtung von A nach D.

Die z-Achse verlaufe in Richtung von A nach E.

Die Koordinagengleichung der Ebene BCE können wir ohne Probleme direkt aufschreiben.

E(BCE): z = 1 - x.

Das gleiche gilt für die Koordinatengleichung der Ebene CDE.

E(CDE): z = 1 - y

Jetzt folgt die Methode mit den Normalvektoren.

Die Methode bewährt sich also sehr gut.

G/140/29/b

Gleiche Aufgabenstellung, nur dass in diesem Fall ein Quader mit folgenden Seitenlängen gegeben ist.

 

Die Ebenengleichungen lauten nun wie folgt.

Und jetzt folgt wieder die Methode mit den Normalenvektoren.

Wir wollen gleich unseren Taschenrechner TI 89 einsetzen.

Und die Methode bewährt sich auch hier.

Geraden - gegenseitige Lage

Zwei Geraden können im Raum wie folgt zueinander liegen:

1. parallel
2. zusammenfallend
3. sich schneidend
4. windschief

In der Ebene sind folgende gegenseitige Lagen möglich:

1. parallel
2. zusammenfallend
3. sich schneidend

Wir wollen hier das Vorgehen beim Bestimmen der gegenseitigen Lage besprechen. Dabei beschränken wir uns auf dreidimensionale Probleme.

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick.

parallel	zusammenfallend	schneidend	windschief
gleiche Richtung	gleiche Richtung	unterschiedliche Richtung	unterschiedliche Richtung
kein Schnittpunkt	unendlich viele Schnittpunkte	ein Schnittpunkt	kein Schnittpunkt
gleiche Richtung		unterschiedliche Richtung
	Schnittpunkt(e) vorhanden

Aufgabe

Fertigen Sie eine Skizze der folgenden vier Geraden an. Aus der Skizze soll die gegenseitige Lage der Geraden gut ersichtlich sein.

Da gilt es im Prinzip 6 gegenseitige Lagen zu untersuchen, nämlich:

1. Gegenseitige Lage der Geraden f und g
2. Gegenseitige Lage der Geraden f und h
3. Gegenseitige Lage der Geraden f und i
4. Gegenseitige Lage der Geraden g und h
5. Gegenseitige Lage der Geraden g und i
6. Gegenseitige Lage der Geraden h und i

Fangen wir an

Gegenseitige Lage der Geraden f und g

Man sieht direkt, dass ein Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen ist.

Die beiden Geraden sind also PARALLEL oder ZUSAMMENFALLEND.

Bestimmen wir nun deren Schnittmenge.

Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte. Sie sind also ZUSAMMENFALLEND.

Gegenseitige Lage der Geraden f und h

Die beiden Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Also sind die beiden Geraden entweder SCHNEIDEND oder WINDSCHIEF.

Bestimmen wir nun deren Schnittmenge.

Die beiden Geraden haben einen SCHNITTPUNKT. S = (1/2/1)

Gegenseitige Lage der Geraden g und h

Weil f und g zusammenfallen, und f und h sich schneiden, SCHNEIDEN sich auch g und h in S = (1/2/1).

Gegenseitige Lage der Geraden f und i

Aufgrund der Richtungsvektoren sind sie entweder WINDSCHIEF oder SCHNEIDEND.

Bestimmen wir nun deren Schnittmenge.

Die beiden Geraden sind WINDSCHIEF.

Gegenseitige Lage der Geraden g und i

Weil f und i windschief sind, sind auch g und i WINDSCHIEF.

Gegenseitige Lage der Geraden h und i

Die beiden Geraden haben einen SCHNITTPUNKT. P = (4/8/-2)

Schaubild