Zwei Geraden können im Raum wie folgt zueinander liegen:
- parallel
- zusammenfallend
- sich schneidend
- windschief
In der Ebene sind folgende gegenseitige Lagen möglich:
- parallel
- zusammenfallend
- sich schneidend
Wir wollen hier das Vorgehen beim Bestimmen der gegenseitigen Lage besprechen. Dabei beschränken wir uns auf dreidimensionale Probleme.
Die folgende Tabelle gibt einen Überblick.
| parallel | zusammenfallend | schneidend | windschief |
|---|---|---|---|
 |  |  |  |
| gleiche Richtung | gleiche Richtung | unterschiedliche Richtung | unterschiedliche Richtung |
| kein Schnittpunkt | unendlich viele Schnittpunkte | ein Schnittpunkt | kein Schnittpunkt |
| gleiche Richtung | unterschiedliche Richtung | ||
| Schnittpunkt(e) vorhanden | |||
Aufgabe
Fertigen Sie eine Skizze der folgenden vier Geraden an. Aus der Skizze soll die gegenseitige Lage der Geraden gut ersichtlich sein.
Da gilt es im Prinzip 6 gegenseitige Lagen zu untersuchen, nämlich:
- Gegenseitige Lage der Geraden f und g
- Gegenseitige Lage der Geraden f und h
- Gegenseitige Lage der Geraden f und i
- Gegenseitige Lage der Geraden g und h
- Gegenseitige Lage der Geraden g und i
- Gegenseitige Lage der Geraden h und i
Fangen wir an
Gegenseitige Lage der Geraden f und g
Man sieht direkt, dass ein Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen ist.
Die beiden Geraden sind also PARALLEL oder ZUSAMMENFALLEND.
Bestimmen wir nun deren Schnittmenge.
Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte. Sie sind also ZUSAMMENFALLEND.
Gegenseitige Lage der Geraden f und h
Die beiden Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Also sind die beiden Geraden entweder SCHNEIDEND oder WINDSCHIEF.
Bestimmen wir nun deren Schnittmenge.
Die beiden Geraden haben einen SCHNITTPUNKT. S = (1/2/1)
Gegenseitige Lage der Geraden g und h
Weil f und g zusammenfallen, und f und h sich schneiden, SCHNEIDEN sich auch g und h in S = (1/2/1).
Gegenseitige Lage der Geraden f und i
Aufgrund der Richtungsvektoren sind sie entweder WINDSCHIEF oder SCHNEIDEND.
Bestimmen wir nun deren Schnittmenge.
Die beiden Geraden sind WINDSCHIEF.
Gegenseitige Lage der Geraden g und i
Weil f und i windschief sind, sind auch g und i WINDSCHIEF.
Gegenseitige Lage der Geraden h und i
Die beiden Geraden haben einen SCHNITTPUNKT. P = (4/8/-2)
Schaubild
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