Wurzeln - Aufgabe

A / 59 / 170 / g

$$\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{a}}} {a\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}}}$$ Wir machen im Zähler gleichnennrig und nehmen im Nenner das a unter die Wurzel. $$\dfrac{\sqrt{\dfrac{a+1}{a}}} {\sqrt[3]{a^2+a}}$$ Jetzt muss man wissen, dass gilt $$\begin{align} \sqrt{x}&=x^\dfrac{1}{2}=x^\dfrac{3}{6}\\ \sqrt[3]{x}&=x^\dfrac{1}{3}=x^\dfrac{2}{6} \end{align}$$ Darum können wir die Wurzelausdrücke mit Exponenten schreiben. $$\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^\dfrac{3}{6}} {\left(a^2+a\right)^\dfrac{2}{6}}$$ Und das ist das gleiche wie $$\dfrac{\left(\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^3\right)^\dfrac{1}{6}} {\left(\left(a^2+a\right)^2\right)^\dfrac{1}{6}}$$ Und dann mit einem der Potenzgesetze $$\left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^3} {\left(a\left(a+1\right)\right)^2}\right)^\dfrac{1}{6}$$ $$\left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2\left(\dfrac{a+1}{a}\right)} {\left(a\left(a+1\right)\right)^2}\right)^\dfrac{1}{6}$$ $$\left( \left(\dfrac {\dfrac{a+1}{a}} {a\left(a+1\right) }\right)^2 \dfrac{a+1}{a} \right)^\dfrac{1}{6}$$ $$\left( \dfrac {1} {a^4} \dfrac{a+1}{a} \right)^\dfrac{1}{6}$$ $$\left( \dfrac{a+1}{a^5} \right)^\dfrac{1}{6}$$ $$\sqrt[6]{ \dfrac{a+1}{a^5}}$$