Gleichungssystem - lösen

DER INTERNET EXPLORER ZEIGT DIE FORMELN VIELLEICHT NICHT KORREKT AN.

Ich bin daran, mich in $\TeX{}$ einzuarbeiten. Damit sollten meine Blog Einträge besser lesbar werden. Ich löse hier ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten. Es handelt sich um folgende Aufgabe: A/131/411/a $$\begin{align} x+y &=5-2z\tag{A}\\ x+z&=8-2y\tag{B}\\ 11-z&=2x+y\tag{C} \end{align}$$ Zuerst ordnen wir neu. $$\begin{align} x+y+2z &=5\tag{D} \\x+2y+z &=8\tag{E} \\2x+y+z &=11\tag{F} \end{align}$$ Wir eliminieren $x$, indem wir "D-E" und "2D-F" rechnen. $$\begin{align} -y+z &=-3\tag{G}\\ y+3z &=-1\tag{H} \end{align}$$ Wir eliminieren $y$, indem wir "G+H" rechnen. $$\begin{align} 4z &=-4\tag{I} \end{align}$$ Damit ist $z=-1$. $y=2$ erhalten wir aus Gleichung H. Aus Gleichung D folgt dann $x=5$. Die Lösung ist also $\left(5/2/-1\right)$. Die Kontrolle sollte die Richtigkeit der Rechnung bestätigen. Die gefundenen Werte müssen die Gleichungen A, B und C erfüllen. Man kann die drei Gleichungen geometrisch als Ebenen auffassen. Sie schneiden sich in einem Punkt. Dies zeigt das folgende Bild.

Die Lösung des Gleichungssystems entspricht dem Schnittpunkt $S=\left(5/2/-1\right)$. Hier noch die folgende Aufgabe: A/131/411/d $$\begin{align}3v+1&=4u+5w\\u-7w&=14-2v\\9w+1&=5v-6u\end{align}$$ Zuerst ordnen wir neu. $$\begin{align}4u-3v+5w&=1\tag{A}\\u+2v-7w&=14\tag{B}\\6u-5v+9w&=-1\tag{C}\end{align}$$ Wir eliminieren u, indem wir "A-4B" und "C-6B" rechnen. $$\begin{align}-11v+33w&=-55\tag{D}\\-17v+51w&=-85\tag{E}\end{align}$$ Wir dividieren Gleichung D durch $-11$ und Gleichung E durch $17$. $$\begin{align}v-3w&=5\tag{D}\\-v+3w&=-5\tag{E}\end{align}$$ Diese beiden Gleichungen sind äquivalent. Wir erhalten also als dritte Stufe: $$v-3w=5\tag{F}$$ Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Wir schreiben $w=\lambda$, wobei $\lambda\in\mathbf{R}$. Aus Gleichung F folgt dann $v=5+3\lambda$. u folgt aus Gleichung B. $$\begin{align}u&=14-2v+7w\\&=14-10-6\lambda+7\lambda\\&=4+\lambda\end{align}$$ Und damit ist die Lösung: $$\left(\lambda+4/3\lambda+5/\lambda\right)\text{ mit }\lambda\in\mathbf{R}$$ Wir interpretieren die drei Gleichungen wieder als Ebenengleichung und stellen diese graphisch dar. Man sieht dann, dass sich die Ebenen in einer Geraden schneiden.