Bruchrechnen - gelöste Aufgaben

Hier eine Aufgabe, die mir auch dazu dient, meine $\TeX$ Fähigkeiten zu testen.

A / 27 / 64 / b

$$\dfrac { \dfrac {1} {a-\dfrac {1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {1-\dfrac {1} {a} } } }$$ Wir machen zweimal gleichnennrig. $$\dfrac { \dfrac {1} {\dfrac {a^2-1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {\dfrac {a-1} {a} } } }$$ Wir teilen zweimal durch einen Bruch (umstürzen und vermehren). $$\dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {a} {a-1} } }$$ Wir machen wieder gleichnennrig. Im Zähler machen wir nichts. Und glücklicherweise wird meine $\TeX$-Formel etwas einfacher. $$\dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {a-1-a} {a-1} } }$$ Wir vereinfachen. $$\dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {-1} {a-1} } }$$ Wir schaffen ein lästiges Minuszeichen aus der Welt. $$\dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {1} {1-a} } }$$ Wir dividieren durch einen Bruch im Nenner. $$\dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1+a-1}$$ Wir vereinfachen den Nenner. $$\dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { a}$$ Und schon sind wir durch. $$\dfrac {1} {a^2-1}$$ Die Aufgabe könnte auch mit der sogenannten Erweiterungsmethode gelöst werden $$\dfrac { \dfrac {1} {a-\dfrac {1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {1-\dfrac {1} {a} } } }$$ Wir erweitern den Bruch im Zähler und den Teilbruch im Nenner mit $a$. $$\dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {a} {a-1 } } }$$ Jetzt erweitern wir den Bruch im Nenner mit $(a-1)$. $$\dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {a-1} {a-1-a} }$$ Wir vereinfachen. $$\dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {a-1} {-1} }$$ Und vereinfachen nochmals. $$\dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } {1-(1-a)}$$ Und vereinfachen nochmals. $$\dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } {a}$$ Und schon sind wir wieder durch. $$\dfrac {1} {a^2-1}$$