Extremwertaufgabe

A/245/934

Zwei Lichtquellen L₁ und L₂ mit den Lichtstärken i₁ = 12 cd (Candela) und i₂ = 21 cd liegen in einer Entfernung von 4.50 m auseinander.

Wie weit ist der am schwächsten beleuchtete Punkt zwischen den Lichtquellen von der schwächeren Lichtquelle entfernt?

Anmerkung: Die Beleuchtungsstärke ist proportional der Lichtstärke und indirekt proportional dem Quadrat der Entfernung.

Lösung

Sei B die Beleuchtungsstärke.

Sei x der Abstand des gesuchten Punktes von L₁.

Die Beleuchtungsstärken der beiden Lichtquellen addieren sich logischereweise.

Der Proportionalitätsfaktor k kann weggelassen werden, denn er bewirkt eine vertikale Streckung der Kurve. Damit wird der x-Wert des Minimums nicht beeinflusst.

Hier der Graph

Der gesuchte Abstand ist somit 2.04 cm.


Bemerkung


Ich bin hier nicht streng nach dem folgenden Verfahren vorgegangen

1. Hauptbedingung aufstellen
2. Nebenbedingung aufstellen
3. Nebenbedingung in Hauptbedingung

sondern habe direkt die Formel mit nur einer unabhängigen Variablen hingeschrieben.

Sonst würde es heissen

Das Minimum ermitteln wir übrigens graphisch mit unserem Taschenrechner.