Was ist eine Tangente?
Die fogenden Graphen zeigen es. Eine Tangente ist eine Gerade, die mit einem Graph genau einen Punkt gemeinsam hat. Anstelle von Tangente könnte man auch sagen Berührende.
In der Berufsmatura bestimmen wir nur Tangenten an Parabeln.
Eine mögliche Aufgabe könnte sein:
Bestimme von einem gegebenen Punkt die Tangente(n) an eine gegebene Parabel. Und das wollen wir jetzt hier tun.
Aufgabe
Gegeben ist der Punkt P(-1/-2)
und die oben schon mal skizzierte Parabel mit der Gleichung
Die Tangente ist natürlich eine Gerade, und damit muss ihre Funktionsgleichung von der folgenden Form sein.
Wobei (und dies zur Wiederholung) a die Steigung und b den y-Achsenschnittpunkt der Geraden angibt. Da die Tangente durch den gegebenen Punkt P geht, ist es naheliegend, dessen Koordinaten in die allgemeine Geradengleichung einzusetzen. Wir erhalten dann, was folgt.
Wie nicht anders zu erwarten war, erhalten wir damit die Geradengleichung noch nicht, denn eine Gerade ist durch einen Punkt allein noch nicht bestimmt. Sie kann immer noch um den Punkt P pivotieren. Zumindest erhalten wir jetzt aber den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt der Geraden. Die beiden hängen linear voneinander ab. Wir substituieren b in der allgemeinen Geradengleichung.
Da die Tangente die Parabel berührt, ist es naheliegend, die beiden einader gleichzusetzen. Dann formen wir die erhaltene Gleichung um und suchen deren Lösung (quadratische Ergänzung).
Wir haben hier die y-Werte der Parabel und Geraden gleichgestellt, und dann alles auf die linke Seite gebracht. Was wir also bei der letzten Gleichung auf der linken Seite haben, gibt den vertikalen Abstand von Gerade und Parabel in Abhängigkeit von x an. Bemerkenswert, dass dies auch eine Parabel ist.
Jetzt ist wichtig zu wissen, dass diese Gleichung nur eine Lösung hat, denn die Tangente hat nur bei einem x-Wert den Abstand 0 von der Parabel.
Das war algebraisch jetzt etwas aufwändig. Man hätte dieses Resultat schon ein paar Zeilen weiter oben ablesen können. Ich werde nach dieser Aufgabe eine Formel entwickeln, die man immer anwenden kann. Man muss sie aber dann auswendig lernen.
Wir sind zu einer quadratischen Gleichung gelangt, die wir nun mit dem Taschenrechner TI 89 lösen wollen.
Und damit können wir die Gleichungen unserer zwei Tangenten hinschreiben.
Der Graph zeigt, dass wir die Tangenten korrekt berechnet haben.
Und jetzt noch die allgemeine Herleitung einer Formel für die Tangentenberechnung.
Die folgende Formel wird also die Frage beantworten
Wann hat eine quadratische Gleichung nur eine Lösung?
Auch hier wäre die Formel schon ein paar Zeilen weiter oben ableitbar gewesen.
Hier jetzt doch noch eine schnellere Herleitung.
Hier ist die Scheitelpunktsform der Parabel hergeleitet worden.
Überlegen Sie sich, was sie aussagt, und wieso wir zum gewünschten Resultat kommen.
Hier jetzt doch noch eine schnellere Herleitung.
Überlegen Sie sich, was sie aussagt, und wieso wir zum gewünschten Resultat kommen.
