Bruchrechnen - gelöste Aufgaben

Hier eine Aufgabe, die mir auch dazu dient, meine \(\TeX\) Fähigkeiten zu testen.

A / 27 / 64 / b

\[ \dfrac { \dfrac {1} {a-\dfrac {1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {1-\dfrac {1} {a} } } } \] Wir machen zweimal gleichnennrig. \[ \dfrac { \dfrac {1} {\dfrac {a^2-1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {\dfrac {a-1} {a} } } } \] Wir teilen zweimal durch einen Bruch (umstürzen und vermehren). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {a} {a-1} } } \] Wir machen wieder gleichnennrig. Im Zähler machen wir nichts. Und glücklicherweise wird meine \(\TeX\)-Formel etwas einfacher. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {a-1-a} {a-1} } } \] Wir vereinfachen. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {-1} {a-1} } } \] Wir schaffen ein lästiges Minuszeichen aus der Welt. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1- \dfrac {1} {\dfrac {1} {1-a} } } \] Wir dividieren durch einen Bruch im Nenner. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { 1+a-1} \] Wir vereinfachen den Nenner. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-1} } { a} \] Und schon sind wir durch. \[ \dfrac {1} {a^2-1} \] Die Aufgabe könnte auch mit der sogenannten Erweiterungsmethode gelöst werden \[ \dfrac { \dfrac {1} {a-\dfrac {1} {a} } } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {1} {1-\dfrac {1} {a} } } } \] Wir erweitern den Bruch im Zähler und den Teilbruch im Nenner mit \(a\). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {1} {1-\dfrac {a} {a-1 } } } \] Jetzt erweitern wir den Bruch im Nenner mit \((a-1)\). \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {a-1} {a-1-a} } \] Wir vereinfachen. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } { 1- \dfrac {a-1} {-1} } \] Und vereinfachen nochmals. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } {1-(1-a)} \] Und vereinfachen nochmals. \[ \dfrac { \dfrac {a} {a^2-a} } {a} \] Und schon sind wir wieder durch. \[ \dfrac {1} {a^2-1} \]