Planimetrie - pi experimentell bestimmen

Ich wage zu behaupten, dass jedem Mathematiker, der etwas auf sich hat, das Wasser im Mund zusammenläuft, wenn er \(\pi\) hört oder ausspricht. In der Tat handelt es sich bei \(\pi\) um eine derjenigen Zahlen, die von früher Kindheit an alles mitbrachte, um einmal im Reich der Zahlen ganz gross herauszukommen. Und dabei steht \(\pi\) lediglich für den Buchstaben P wie Perimeter. \(\pi\) ist also schon irgendwie auch sehr banal - es ist nichts anderes als eine Drei mit unendlich vielen Dezimalstellen, die keine Ordnung offenbaren, oder uns bisher keine solche geoffenbart haben. Und doch hat diese "verflixte" Zahl viel Charisma. Sie hat das Zeug, um Mathematiker seit jeher zu faszinieren und aus ihnen die wunderbarsten mathematischen Konstrukte hervorzukitzeln. Glücklich kann sich somit der Mensch schätzen, der am \(\pi\)-Tag geboren ist (14. März) - oder der, der \(\pi\) Millionen Dollar im Sack hat. Schon in der Bibel findet man Abschätzungen dieser Zahl. Mein Gott Abrahams und Isacks, waren unsere Religionsväter schlechte Rechner - für sie war \(\pi\) so etwas wie drei, während Inder und Araber schon damals mit x Dezimalstellen rechneten. Bewahre Gott meine Schüler, dass sie nur mit biblischer Genauigkeit rechnen und auf Resultate kommen wie: das Universum ist 5432 Jahre alt.

Wir wollen \(\pi\) heute experimentell bestimmen. \(\pi\) ist die Kreiszahl, mit der man die Fläche eines Kreises berechnen kann, wenn sein Radius gegeben ist. Aber eben, wie bestimme ich \(\pi\)? Es ist eines jener mathematischen Probleme, wo am Anfang weder ein Huhn noch ein Ei vorhanden ist. Oder anders ausgedrückt: wir haben mehr Unbekannte als Gleichungen. Wer aber mitdenkt, hat gemerkt, dass ich \(\pi\) bestimmen kann, wenn ich die Kreisfläche kenne. Nun ist diese aber so ganz und gar rund, dass auch dies mit primitiven Methoden nicht offensichtlich berechenbar ist. Wenn der Kreis ein Quadrat oder ein Dreieck wäre, wäre es ja einfach, aber er ist halt ein Kreis und damit überall so rund und leider überhaupt nicht eckig und damit buafia sana!

Wo ein Wille da ein Weg. An einem kalten Wintertag verlassen wir unseren Computer, begeben uns nach draussen, und beginnen Schneeflocken zu zählen. Und zwar zählen wir die Flocken, die sich in der nachfolgenden Zeichnung innerhalb des Quadrates niederlassen, und diejenigen, die sich innerhalb des Viertelkreises ansiedeln.

Eine Prüfungsfrage könnte jetzt lauten: Berechne \(\pi\), wenn ein Schüler bei einem solchen Experiment von 1000 Schneeflocken 766 innerhalb des Viertelkreises findet.

Doch aufgepasst! - Winden darf es natürlich nicht, die Schneeflocken müssen schön ausgewogen auf unser Esperimentierfeld fallen. Mit anderen Worten: Es muss ein Zufallsexperiment sein. Es ginge auch nicht, wenn ein Scharfschütze auf eine Scheibe nach unten vorgegebenen Muster ballern würde. Seine Treffer würden sich beim Zentrum summieren. Prüfungsfrage: Wäre dann \(\pi\) offensichtlich zu gross oder zu klein? Oder was würde mit unserem lieben \(\pi\) geschehen, wenn die Schweizer Armee auf ein dermassen abgestecktes Ziel schiessen würde, und sie die meisten ihrer Schüsse mit einem systematischen Fehler von 777 Zentimeter ausserhalb des Zentrums massiert sähe, und sich nur wenige Treffer innerhalb des von der Armeeleitung als sowieso äusserst doof bezeichneten Ziels befinden würden? Nichts als Fragen.

Mein Zufallsexperiment, mit GeoGebra implementiert, wird sicher weiterhelfen. Notieren Sie sich einfach zu einem bestimmten Zeitpunkt die Anzahl der Treffer und berechnen Sie \(\pi\). z gibt die Anzahl Schüsse an - bestimmt werden Sie auch den vom Programm ausgegebenen Wert finden. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)