Quadratische Gleichungen - Aufgaben

 A/99/279/d

Lösen Sie die Gleichung ohne Fallunterscheidung.

 

Lösung

Wurzelgleichungen - Aufgaben

A/113/344/e

Lösung

Logarithmen - Aufgaben

A/67/204/j

Fassen Sie zu einem einzigen Logarithmusmuster zusammen.

Lösung

Wurzeln / Potenzen - Aufgaben

A/58/167/c

Vereinfachen Sie so weit als möglich. Schreiben Sie die Lösung mit Hilfe von Wurzelzeichen.

Lösung

Funktionsparameter

Funktionsparameter heute anhand der Wurzelfunktionen.
Immer wieder wird die Bedeutung der Funktionsparameter vergessen.
Die allgemeine Wurzelfunktionsgleichung lautet

a bewirkt eine Streckung/Stauchung in vertikaler Richtung.
a bewirkt bei negativem Vorzeichen auch eine Spiegelung an der x-Achse.
b bewirkt eine Steckung/Stauchung in horizontaler Richtung.
b bewirkt bei negativem Vorzeichen auch eine Spiegelung an der y-Achse.
c bewirkt eine Verschiebung in horizontaler Richtung.
d bewirkt eine Veschiebung in vertikaler Richtung.
Ich kann Wurzel aus b auch ausklammern, dann bewirkt es eine Streckung in vertikaler Richtung.

Nun das Beispiel

-2: Der Graph der Funktion "Wurzel aus x" wird an der x-Achse gespiegelt.
-2: Der Graph der Funktion "Wurzel aus x" wird vertikal mit dem Faktor 2 gestreckt.
-5: Der Graph wird um 5 nach unten verschoben.
3: Der Graph wird horizontal mit dem Faktor 1/3 gestaucht.
4: Der Graph wird um 4/3 nach links verschoben.

Schwierigkeiten bereitet immer der Term unter der Wurzel.
Überlegen wir wie folgt.

 

Und nochmals das gleiche mit einem anderen Wert.

 

So sollten Stauchungsfaktor und Verschiebungswert klar sein.

Man könnte das Problem auch wie folgt angehen.

 

Wir können also auch von einer vertikalen Streckung reden. Faktor "2 mal Wurzel 3".
Die Verschiebung nach links ist 4/3.

Hin und wieder soll man den Graph schrittweise skizzieren. Das sieht wie folgt aus.

Wichtig ist, dass man sich hier an die korrekte Reihenfolge hält (oben mehr oder weniger im Gegenuhrzeigersinn, angefangen mit schwarz).

Ich mache jetzt noch ein Schaubild der Ausklammermethode - nur um zu zeigen, dass das Schlussresultat identisch ist.

Funktionsgleichung - trigonometrische Funktion

Hin und wieder ist ein Funktionsgraph gegeben, und wir müssen die Funktionsgleichung bestimmen.

Hier ein Beispiel.

Es handle sich um eine Sinuskurve.

Es sind die Parameter folgender Funktionsgleichung zu bestimmen.

Parameter a ist offensichtlich: a = 2.

Parameter d ist offensichtlich: b = -4.

Schwieriger ist die Bestimmung der Parameter b und c.

b hat mit der Periodenlänge zu tun.

c hat mit der horizontalen Verschiebung zu tun.

Eine mögliche Methode

Gut ablesbare Punkte finden (hier offensichtlich die Punkte A und B).

Den Bogen nach unten zwischen A und B macht der gewöhnliche Sinus zwischen pi und 2pi.

Also macht meine "Maschine" bx + c aus 0.71 den Wert pi und berechnet davon den Sinus (0).

Also macht meine "Maschine" bx + c aus 1.76 den Wert 2pi und berechnet davon den Sinus (0).

So kann ich ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen.

Dies alles mit einer übertriebenen Genauigkeit.

Die Funktionsgleichung lautet also

Und dies ist korrekt.

Vektorgeometrie - Winkel zwischen Ebenen

In der Stereometrie, beim Thema "Winkel im Raum", lösen wir die folgende Aufgabe.

G/140/29/a

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Flächen BCE und CDE eines Würfels ABCDEFGH.

Wir wollen die Aufgabe hier vektorgeometrisch angehen und schauen, ob sich gelernte Methode zur Winkelberechnung zwischen Ebenen bewährt.

Lösung

Wir nehmen eine Kantenlänge von 1 Einheit an.

A sei der Ursprung unseres Koordinatensystems.

Die x-Achse verlaufe in Richtung von A nach B.

Die y-Achse verlaufe in Richtung von A nach D.

Die z-Achse verlaufe in Richtung von A nach E.

Die Koordinagengleichung der Ebene BCE können wir ohne Probleme direkt aufschreiben.

E(BCE): z = 1 - x.

Das gleiche gilt für die Koordinatengleichung der Ebene CDE.

E(CDE): z = 1 - y

Jetzt folgt die Methode mit den Normalvektoren.

Die Methode bewährt sich also sehr gut.

G/140/29/b

Gleiche Aufgabenstellung, nur dass in diesem Fall ein Quader mit folgenden Seitenlängen gegeben ist.

 

Die Ebenengleichungen lauten nun wie folgt.

Und jetzt folgt wieder die Methode mit den Normalenvektoren.

Wir wollen gleich unseren Taschenrechner TI 89 einsetzen.

Und die Methode bewährt sich auch hier.

Extremwertaufgabe

A/245/934

Zwei Lichtquellen L₁ und L₂ mit den Lichtstärken i₁ = 12 cd (Candela) und i₂ = 21 cd liegen in einer Entfernung von 4.50 m auseinander.

Wie weit ist der am schwächsten beleuchtete Punkt zwischen den Lichtquellen von der schwächeren Lichtquelle entfernt?

Anmerkung: Die Beleuchtungsstärke ist proportional der Lichtstärke und indirekt proportional dem Quadrat der Entfernung.

Lösung

Sei B die Beleuchtungsstärke.

Sei x der Abstand des gesuchten Punktes von L₁.

Die Beleuchtungsstärken der beiden Lichtquellen addieren sich logischereweise.

Der Proportionalitätsfaktor k kann weggelassen werden, denn er bewirkt eine vertikale Streckung der Kurve. Damit wird der x-Wert des Minimums nicht beeinflusst.

Hier der Graph

Der gesuchte Abstand ist somit 2.04 cm.


Bemerkung


Ich bin hier nicht streng nach dem folgenden Verfahren vorgegangen

1. Hauptbedingung aufstellen
2. Nebenbedingung aufstellen
3. Nebenbedingung in Hauptbedingung

sondern habe direkt die Formel mit nur einer unabhängigen Variablen hingeschrieben.

Sonst würde es heissen

Das Minimum ermitteln wir übrigens graphisch mit unserem Taschenrechner.