Brüche - Aufgabe

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In \(TeX\) gibt es den "\color{}"-Befehl. Damit sollte auch die folgende Aufgabe besser zu knacken sein. \[ (c+d) \dfrac {\dfrac{c+d}{c-d}+\dfrac{4cd}{\color{red}{d^2-c^2}}} {\color{blue}{\dfrac{d}{c}-1}} \] Zuerst faktorisiere ich den roten Teil und fasse den blauen Term zusammen. \[ (c+d) \dfrac {\dfrac{c+d}{c-d}+\dfrac{4cd}{\color{red}{(d+c)(d-c)}}} {\color{blue}{\dfrac{d-c}{c}}} \] Jetzt teilen wird durch "blau" (umstürzen und vermehren). \[ \dfrac {\color{blue}{c}(c+d)} {\color{blue}{d-c}} \left( {\dfrac{c+d}{c-d}+\dfrac{4cd}{(c+d)(d-c)}} \right) \] Jetzt nehmen wir uns des grünen Teiles an. \[ \dfrac {c(c+d)} {d-c} \left(\color{green}{ {\dfrac{c+d}{c-d}+\dfrac{4cd}{(c+d)(d-c)}}} \right) \] Zur Bestimmung des gemeinsamen Nenners erweitern wir den ersten Bruch mit \(-1\). \[ \dfrac {c(c+d)} {d-c} \left( {\color{green}{-\dfrac{c+d}{d-c}}+\dfrac{4cd}{(c+d)(d-c)}} \right) \] Jetzt schreiben wir die beiden Brüche mit dem gemeinsamen Nenner. \[ \dfrac {c(c+d)} {d-c} \left( {-\dfrac{(c+d)^2}{\color{green}{(c+d)(d-c)}}+\dfrac{4cd}{\color{green}{(c+d)(d-c)}}} \right) \] Und über einem Bruchstrich geschrieben. \[ \dfrac {c(c+d)} {d-c} \left(\color{green}{ {\dfrac{4cd-(c+d)^2}{(c+d)(d-c)}}} \right) \] Wir multiplizieren im Zähler aus. \[ \dfrac {c(c+d)} {d-c} \left( {\dfrac{\color{green}{-c^2+2cd-d^2}}{(c+d)(d-c)}} \right) \] Wir klammern \(-1\) aus und erhalten das 2. Binom, das wir anschliessend faktorisieren. \[ \dfrac {c(c+d)} {d-c} \left( \color{red}{-}{\dfrac{\color{green}{c^2-2cd+d^2}}{(c+d)(d-c)}} \right) \] \[ \color{red}{-}\dfrac {c(c+d)} {d-c} \left( {\dfrac{\color{green}{(c-d)^2}}{(c+d)(d-c)}} \right) \] Wir erweitern den Bruch vor der Klammer mit \(-1\) und multiplizieren dann die Klammer gleich mit diesem Bruch (kürzen). \[ \color{red}{\dfrac {c(c+d)} {c-d}} \left( {\dfrac{(c-d)^2}{(c+d)(d-c)}} \right) \] Dabei erhalten wir \[ c \dfrac{c-d}{d-c)} \] Wir erweitern den Bruch noch mit \(-1\) und erhalten als schöne Schlussantwort \[-c\]