Flächen- und Umfangberechnung
Fläche und Umfang des Kreises können mit einfachen Methoden der Geometrie annäherungsweise berechnet werden.
Prinzip: Wir beschreiben dem Kreis regelmässige Vielecke ein und erhöhen schrittweise deren Seitenzahl. Je mehr Seiten das Vieleck hat, desto weniger unterscheidet sich seine Fläche von der Fläche des Kreises. Entsprechend können wir dem Kreis Vielecke umbeschreiben. Ich mache hier die Berechnung für ein- und umbeschriebene Vier- und Achtecke, und überlasse es dem Schüler, bis zum 1024-Eck weiterzurechnen.
Bei einem Kreisradius \(r=4\)
beträgt die Quadratseite \(\sqrt{2}r=\sqrt{2}\cdot4\)
und die Fläche des Quadrates \((\sqrt{2}r)^2=2r^2=2\cdot16=32\)
Die Abweichung geht aus dem Bild hervor.
Achteck
\[ \begin{align} 8A_\vartriangle&=8\frac{1}{2}r^2\sin45^\circ\\ 8A_\vartriangle&=8\frac{1}{2}16\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 8A_\vartriangle&=\frac{64}{\sqrt{2}}\\ 8A_\vartriangle&\approx45.2548 \end{align} \] Die Abweichung von der Kreisfläche ist schon viel geringer.
Sechzehneck
Jetzt noch die GeoGebra Applikation zum Weiter-Experimentieren. Hier folgen jetzt noch die Bilder für die Berechnung der umschreibenden Vielecke. Wieder kann leicht vom Kreisradius r ausgegangen werden. Am Schluss folgt wieder die GeoGebra Applikation zum Experimentieren.
Einer unserer Vorahnen war drauf und dran, das Rad zu erfinden. In einem Anflug schöpferischer Intuition hatte er aus Holz ein Sechzehneck konstruiert. Er klagte sich bei seinem Kollegen (einem Nichtmathematiker), dass das Rad nun bei jeder Umdrehung sechzehnmal tag-tag-tag... mache und die Passagiere ganz gehörig durchschüttle. Dieser, wie gesagt ein Nichmathematiker, riet ihm, ein viereckiges Rad zu schaffen, dann mache es nur noch viermal tag-tag-tag...
