Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren, das wir in zwei Fällen benutzen:

• Beim Lösen quadratischer Gleichungen
• Bei der Bestimmung der Scheitelpunktsgleichung quadratischer Funktionen

Lösen einer quadratischen Gleichung (allgemein)

  

Wer diese Formel auswendig kennt, hat seine Arbeit für alle Zukunft gemacht. Wer sie nicht kennt, muss die Herleitung halt in jedem konkreten Fall wieder neu machen. Wir mussten sie früher auswendig hinschreiben können. Wir hatten aber auch mehr Zeit und im Internat viel mehr Studium. Auch waren wir weniger abgelenkt - durch Dinge wie iPhones, Blogs, Facebook ...

Lösen eines konkreten Beispiels

 

Am meisten Mühe bereitet jeweils der Schritt von der zweiten zur dritten Zeile (die Hälfte von 2 nehmen und hinten das Quadrat davon abzählen). Wenn man das Binom zur Kontrolle wieder ausmultipliziert, stellt man fest, dass sich der Wert der linken Seite der Gleichung nicht geändert hat.

Ein weiteres Beispiel

Quadratische Ergänzung bei quadratischen Funktionen allgemein

Die Grundform (1. Zeile) informiert uns über den Öffnungsgrad der Parabel (hier 0.5 - eher weit offen) und über den y-Achsen-Schnittpunkt (hier 5.5 - x gleich null setzen).

Die quadratische Ergänzung liefert die Scheitelpunktsform, die uns über den Scheitelpunkt informiert (hier x = 3 und y = 1)

Hier noch das Schaubild, wie es der Taschenrechner (TI 89) liefert:

Hier die allgemeine Entwicklung der Scheitelpunktsform

Auch hier können die Koordinaten des Scheitelpunktes abgelesen werden.

Interessant wäre jetzt zu untersuchen, wie sich eine Änderung der Parameter a, b und c auf die Lage des Scheitelpunktes auswirken.

Dies dann ein anderes Mal.